Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
to ^TTT = W <9-24)
при этом мы предполагаем, что гамильтониан fC веществен. Мы видим, что состояние ф* развивается в направлении —t так же, как состояние г|з в направлении t. Так как плотность вероятности пропорциональна | ф |2, то обращение времени на нее не влияет. В то же время скорости, пропорциональные (1/i) фТф, меняют свое направление. Для стационарного состояния
= (9-24)
откуда
= (9.24а)
и, следовательно, и г|э* соответствуют одной и той же энергии Sn. Если г|эи и г|з* линейно независимы, то это приводит к дополнительному вырождению. Из (9.23) и (9.24) видно, что это дополнительное вырождение связано с симметрией по отношению к обращению времени.
Для электрона в периодическом поле волновая функция имеет вид (9.15), поэтому
Vnlti H = Wnkl. (г) е-1^, (9 25)
которое отличается от состояния (9.15) заменой k на —k. Так как (9.15) и (9.25) удовлетворяют одному и тому же уравнению (9.14), то
<Bn{-k) = Sn{k). (9.26)
Таким образом, энергетические поверхности ^rt(A) = Const обладают центром симметрии независимо от того, обладает ли им прямая (обратная) решетка кристалла.
Если k расположен внутри зоны Бриллюэна и направлен вдоль какой-либо из ее осей или плоскостей симметрии, то среди элементов группы W имеются такие, что
Rk = k. (9.27)
Если же конец вектора k лежит на границе зоны Бриллюэна, то преобразование симметрии R может превратить k в эквивалентный вектор, т. е.
Rk = k± b;, (9,27а)
где Ь;—основной вектор обратной решетки. 104 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il
Элементы пространственной группы кристалла (9.16), у которых точечные преобразования R удовлетворяют соотношениям (9.27) или (9.27а), образуют ее подгруппу и называются группой волнового вектора Gk. Группа Gk определяет вырождение и симметрию блоховских волновых функций в точке А бриллюэнов-ской зоны во всех зонах (полосах) энергии п. Т. е. каждый элемент группы Gk преобразует блоховскую функцию с волновым вектором А и энергией Sn (А) в другие блоховские функции с тем же (или эквивалентным) волновым вектором и с той же энергией. Для применения теории групп к определению вырождения и симметрии блоховских функций в определенных Точках А-пространства мы должны знать в этой точке неприводимые представления группы Gk или хотя бы их характеры.
Непосредственно легко определить характеры точечной группы Wk, элементы которой R оставляют вектор А инвариантным или преобразуют его в эквивалентный. Ниже мы установим связь между неприводимыми представлениями Г (g) группы волнового вектора Gk и неприводимыми представлениями Г(#) точечной группы Wk. Как мы увидим дальше, для симморфных групп эти представления совпадают.
Рассмотрим, в иллюстративных целях, группу Wk для плоской квадратной решетки при различных положениях волнового вектора А. Если сторона квадрата прямой решетки равна а, то бриллюэновская зона имеет тоже форму квадрата со стороной 2л/а (рис. 11.18). Точечной группой W кристалла является в этом случае группа Civ с восемью элементами: Е, 2C4, C2, Iav, 2аd (CTt,—плоскости отражения, параллельные сторонам квадрата, а4 — плоскости отражения, проходящие через его диагонали).
В наиболее общем случае а) звезда волнового вектора состоит из восьми разных векторов А, получающихся при применении всех восьми элементов группы Civ; группа Wk состоит при этом из одного элемента Е. В случае б) вектор лежит в плоскости ov (AA') и звезда волнового вектора состоит из четырех векторов; группа Wk в этом случае состоит из двух элементов: Е, av. В случае в) звезда волнового вектора тоже состоит из четырех векторов; группа Wk для одного из них состоит из элементов E и od. В случаях г), д) и е) концы векторов А в звезде расположены на границе зоны Бриллюэна.
Так как вектор ft и ft' = ft + — эквивалентны, то в случае г)
А-звезда состоит из четырех векторов, а группа Wk из двух элементов: E и ov. В случае д) звезда волнового вектора состоит из двух векторов, а группа Wk из четырех элементов: Е, C2, 2ov. Наконец, в случае е) все четыре изображенных вол- $ 9]
ТРАНСЛЯЦИОННАЯ СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛА
Ю]
новых вектора эквивалентны, а группа ? совпадает с точечной группой кристалла Civ.
4, Покажем, что если Г (R)— неприводимое представление точечной группы (Fft1 то неприводимое представление группы волнового вектора Gk равно (ограничение смотри ниже)
Г (g) = Г ({RI a (R) + а}) = Г (R) exp і [к (а + а)]. (9.28)
Здесь g = {R\a(R) + а}—элемент группы Gk, а = ап — вектор решетки и а (R) = а — несобственная трансляция, соответствующая элементу R.
ли
гп/а.
а)
б)
в)
к'
А' 3) , Рис. 11.18.
Поскольку Г (R)-неприводимое представление группы Wu-
T(R2R1)=T(R2)T(R1). (9.29)
Из (9.28) следует, что
Г (&) Г (&)=Г (R2) T (R1) ехр і [к (а2+а2)+к(а1 + а1)\. (9.30)
Здесь U1 и Ce1=SOt(^1)—вектор решетки и несобственная трансляция, соответствующие элементу Rl для элемента 6 Gk, аналогичный смысл имеют величины а2 и а2.
Для элемента g2g1 группы Gk из (9.28) следует
