Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим обратную решетку, соответствующую основной области кристалла, содержащей G8 элементарных ячеек. Полный объем такой обратной решетки равен объему элементарной ячейки обратной решетки (2я)3/?20, помноженной на G3. С другой стороны, этот объем равен объему бриллюэновской зоны, помноженной на G3; отсюда следует, что объем бриллюэновской зоны равен объему элементарной ячейки обратной решетки, т. е. равен (2я)3/?20, как и утверждалось выше.
Более подробное исследование бриллюэновских зон будет дано в гл. IV при изучении движения электрона в идеальном кристалле.
Мы ввели волновой вектор к, исходя только из свойств трансляционной симметрии. И хотя, например, в следующей главе волновой вектор появится при решении механической задачи о колебании атомов кристалла, мы должны отдавать себе отчет в том, что более глубокая причина его появления—трансляционная симметрия кристалла. $ 9] ТРАНСЛЯЦИОННАЯ СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛА Ю]
2. Рассмотрим действие оператора Pr (6.1), где R—трансляция на вектор —Un1) на волновую функцию электрона г|)*(г), движущегося в периодическом поле кристалла. Индекс ft у волновой функции означает, что мы рассматриваем базисную функцию k-то неприводимого представления.
Так как неприводимые представления группы трансляции имеют размерность единица и равны (9.9), то из (6.1) следует
PrV* (г) = Ф* (R~lr) = ф* (г + ап) = ГАф* (г) = в^-ф* (г),
т. е.
Vk{r + an)=eika^k{r). (9.12)
Легко показать, что для того, чтобы волновая функция электрона фй (г) удовлетворяла трансформационному соотношению (9.12), необходимо, чтобы
Ф »(r) = u*(r)e«'t (9.13)
где функция Uu (г) обладает периодичностью решетки, т. е.
Uk (г + а„) *=ик (г). (9.13а)
В самом деле, в этом случае из (9.13) следует
Ф* (Г + ая) = Uk(r + а„) eik = ик (г) eihreiha» = е'*в»ф» (г),
что совпадает с (9.12).
Волновая функция электрона в кристалле (9.13) называется блоховской волновой функцией (Ф. Блох, 1928 г.); ее вид обусловлен только трансляционной симметрией кристалла. Конкретный вид функции Uk (г) зависит от вида периодического потенциала, действующего на электрон.
3. Стационарные состояния электрона в периодическом поле кристалла описываются уравнением Шредингера
й (Г) ф„*/ (г) ^ [_ V2 + F (г)] ф„А/ (г) = ?п (ft) фЛА,- (г), (9.14)
где гамильтониан Ж (г) инвариантен при всех преобразованиях симметрии кристалла.
Блоховская волновая функция электрона (9.13)
Ф я*/(г) = и„»/(г)в'*г (9.15)
зависит не только от волнового вектора ft, но и от номера полосы (зоны) энергии п\ в общем случае она может зависеть еще от дополнительных квантовых чисел /, характеризующих разные вырожденные состояния электрона при заданных п и k.
!) Можно было бы, конечно, определить операцию R как трансляцию на вектор + ап, но это привело бы к менее привычным соотношениям. 102 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il
В (9.14) <?„ (ft)—собственные значения энергии электрона. Пусть группой симметрии кристалла является пространственная группа с элементами (§ 5 п. 3)
g = {R\a(R)+an\ (9.16)
и с обратными элементами (5.6)
S-1H^-1I-R-1V(R)-R-1Un]. (9.17)
Подействуем оператором Pg (6.1) на обе части уравнения (9.14); так как периодическое поле кристалла V (г) и оператор кинетической энергии (— A2/2m)V2 не меняются при всех преобразованиях пространственной группы (9.16), то
Ж (г) PgVnki (г) =Sn(^)PgVnki (г), (9.18)
Т. е. функция PgVnki (г) тоже должна быть блоховской функцией, соответствующей той же энергии Sn(k). Из (6.1), (9.17) и (9.15) следует
PsVnki (Г) = Pg[tlnkj (Г) eib'\ = Unki (g^r) e^-'r = Unkj (R-ir-, — R-1U(R)-R-1Un) exp [—ik (R-1Oi +R-1Un)] eikR~lr. (9.19)
Вектор R-1Un равен вектору решетки (это справедливо и для несимморфных групп, когда R-1 может и не быть элементом симметрии сложной решетки). Если учесть еще, что скалярное произведение векторов не изменится, если применить к каждому из них преобразование R, т. е.
k-R~1r = Rk-RR~1r = Rk-Er = Rkr, (9.20)
то (9.19) может быть записано в виде
PgVnki (г) = UnRkj (г) eiRkr, (9.21)
где
UnRki (Г) = Unki (R-'r —R-1OC (R)) exp [— iRk (a (R) + Un)] (9.21а)
— периодическая функция с периодами решетки (это следует из того, что R-1Um равен вектору решетки). Елоховская функция (9.21) с волновыми векторами Rk удовлетворяет тому же уравнению Шредингера (9.14) с собственным значением энергии Sn(k)\ другими словами,
Sn(k) = Sn(Rk)- (9.22)
Таким образом, энергетические поверхности <?„ (ft) = const в бриллюэновской зоне для всех полос (зон) энергии обладают симметрией точечной группы кристалла.
Совокупность векторов Rk, где R—элемент точечной группы кристалла Sr, называется звездой волнового вектора.
Покажем, что инвариантность уравнения Шредингера относительно обращения времени (t—>—t) приводит в некоторых случаях к дополнительной симметрии энергии Sn(b)- $ 9]
ТРАНСЛЯЦИОННАЯ СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛА
Ю]
Рассмотрим временное уравнение Шредингера
it ^L = ^ (9.23) и возьмем ему комплексно-сопряженное
