Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
г* ('».) = S"- = ехр ^g1H1, & = 0, 1, 2.....G-1. (9.5)
Таким образом, в согласии с общей теорией, число неприводимых представлений равно числу классов (элементов) (см. (6.30)). Аналогично для двух других групп одномерной трансляции с элементами іПі = {Е | п2а2} и ina = {? | п3а3}, неприводимые представления равны
2я і
rg2 (tn„) = exp -TfgiIi2, g2 = 0, 1, 2, ..., G —1,
L (9-6)
rg3(^3) = exp — g3n3, g3 = 0, 1, 2.....G —1.
B § 6, n. 5 было показано, что неприводимое представление прямого произведения групп равно прямому произведению их неприводимых представлений. Как уже отмечалось выше, трехмерная группа трансляций оГ равна прямому произведению трех одномерных групп трансляции с элементами tni и tn>, поэтому неприводимое представление группы ?г равно
Tglgsgs (tn) = Tgl (*„,) Гв, (/„,) rgs (/„.) =
2я і
= exp — (g1n1+gtn2 + g3n3), (9.7)
как это следует из (9.5) и (9.6). Введем волновой вектор
^ = TT01+t-f>i+fb3, (9.8)
где Ь1У Ь2 и Ь3—основные векторы обратной решетки (1.3.8). Очевидно, что к имеет размерность векторов bi, т. е. размерность, обратную длине (см*1). Тройка чисел glt g2, g3 опреде-деляет вектор к. Из (1.3.9) следует, что показатель экспоненты (9.7) может быть представлен в виде ikan, поэтому (9.7) может быть записано в виде
Г k(t„)=eika", (9.9)
1) Смирнов В. И. Курс высшей математики.—23 изд.—M.: Наука,
1974, т. 1, § 175. $ 9]
ТРАНСЛЯЦИОННАЯ СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛА
Ю]
где волновой вектор к нумерует неприводимое представление. Если заменить вектор к на к' = k + bm, где om = /71^+/71^ + -\-т3Ь3— произвольный вектор обратной решетки, то
exp (ik'a„) = exр (ika„) exp (ibman) =
= exp (ikdn) exp (2лі X целое число) = exp (ікап),
где мы воспользовались формулой (1.3.9).
Таким образом, к и к' соответствуют, одному и тому же неприводимому представлению, т. е. они эквивалентны. В силу этого можно ограничиться рассмотрением таких значений к, для которых Aai- (t = l, 2, 3) лежат внутри интервала 2л (так как, если Aa,- лежит вне этого интервала, то оно может быть приведено.....к-.аем.у исклютем
обратной решетки); мы можем, например, положить
— л<Аа,<я (? = 1,2,3). (9.10)
Подставляя сюда вместо к его значение (9.8), получим
—G/2 < gi < С/2, (9.10а)
т. е. мы приходим к тем же условиям (9.5), (9.6), согласно которым gi пробегает G значений (из (9.10а) видно, почему удобно выбирать G нечетным числом).
В качестве области неэквивалентных значений вектора (9.10) может быть выбрана элементарная ячейка обратной решетки «объема» (2л)3/?. Такой выбор области (9.10) не всегда удобен, так как параллелепипед, построенный на векторах Ьх, Ь2, Ь3 не обладает, вообще говоря, симметрией самой решетки (прямой или обратной). Аналогично тому, как была построена симметричная ячейка Вигнера—Зейтца (гл. I, § 1, п. 4), можно и в случае обратной решетки всегда выделить область (9.10), обладающую полной симметрией обратной (и прямой) решетки. Для этого проведем из некоторого узла О обратной решетки векторы bg ко всем другим ее узлам. Проведем плоскости через середины векторов bg, перпендикулярные к ним. Уравнения этих плоскостей имеют вид
V2^-(M) = O1 (9.11)
где к—радиус-вектор, проведенный из начала координат О к некоторой точке, построенной плоскости. Заметим, что уравнение (9.11) совпадает с условиями дифракции рентгеновских лучей в кристалле (1.4.5) (разные знаки перед скалярным произведением в (1.4.5) и (9.11) связаны с тем, что к в уравнении (1.4.5) направлен от плоскости к началу координат О, см. 100 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il
рис. 1.16). Эти пересекающиеся плоскости определяют некоторые многогранники с центром в точке О. Наименьший многогранник с центром в точке О называется первой или приведенной зоной Бриллюэна (иногда просто бриллюэновской зоной)-, его «объем» тоже равен (2я)3/Й0 (см- ниже). «Объем», заключенный между поверхностью первой бриллюэновской зоны и поверхностью следующего многогранника, называется второй бриллюэновской зоной и г. д. Можно показать, что «объемы» всех бриллюэновских зон одинаковы и равны (2л)3/?20.
\j Как уже отмечалось в (гл. I1 § 3), обратная решетка для простой кубической решетки тоже простая кубическая; отсюда сразу следует, что первая бриллюэновская зона в этом случае имеет форму куба с ребром 2л/а (а — ребро куба прямой решетки); «объем» зоны Бриллюэна равен (2л/а)3 = (2л)3/а3 = = (2л)3Д20.
Из самого построения первой зоны Бриллюэна следует, что волновые векторы к, концы которых лежат внутри нее, отучаются друг от друга меньше чем на вектор обратной решетки. Если же конец вектора к лежит на границе зоны Брйллюэйа, то всегда существует по крайней мере один эквивалентный ему вектор k' = k±bi, конец которого также лежит на границе бриллюэновской зоны.
Первая зона Бриллюэна может быть определена и как множество точек, расстояние которых до данного узла обратной решетки меньше, чем расстояние до всех других узлов (только точки, лежащие на границе зоны, отстоят на одинаковых расстояниях от двух узлов обратной решетки). Таким образом, все пространство обратной решетки можно разбить на приведенные бриллюэновские зоны, построенные около каждого из узлов.
