Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ансельм А.И. -> "Введение в теорию полупроводников" -> 36

Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.

Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников — Москва, 1978. — 618 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriupoluprovodnikov1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 217 >> Следующая


Рассмотрим молекулу аммиака NH3, о которой упоминалось выше. Как уже отмечалось, точечная группа ее симметрии C3v состоит из шести элементов, распределенных по трем классам: Е, 2C3, 3ov (см. § 3, группа IV Cnv).

s тиа

2 л (S)paWp = - 96 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il

Определим, пользуясь формулами (8.16) и (8.19), характеры полного представления Du для молекулы NH3:

Xа(?) = (jV—2) (1 +2cos0°) = (Дг — 2)-3 = (4-2)-3 = 6, X« (C3) = (Nc—2) (1 + 2 cos 120°) = — (1 + 2 cos 120°) = 0, (8.20) Xа (a) = A^e = 2-

Пользуясь формулами (6.34), (8.20) и табл. II.3 характеров группы D3, изоморфной с группой Csv, легко показать, что приводимое представление D" распадается на следующие неприводимые представления группы C3v:

Da = 2I\ + 2Г3 = 2A1 + 2Е, (8.21)

где мы, как это принято в молекулярной физике, обозначили единичное представление T1 через A1 и дважды вырожденное представление Г3 через Е. Таким образом, молекула аммиака NH3, имеющая шесть колебательных степеней свободы, обладает двумя невырожденными нормальными колебаниями типа A1 и двумя дважды вырожденными колебаниями типа Е. При колебаниях типа A1, соответствующих единичному представлению, полная симметрия молекулы (правильная треугольная пирамида) сохраняется. Мы не будем заниматься рассмотрением характера смещений атомов для колебаний типа Е.

§ 9. Применение теории групп к трансляционной симметрии

кристалла

1. Важнейшим видом симметрии твердого тела является его трансляционная симметрия, согласно которой кристаллическая решетка совпадает сама с собой при смещении кристалла как целого на вектор решетки

ап = n^i + n^ + njis, (9.1)

где Ci1, а2 и а3—основные векторы, а я,-—целые числа (гл. I, § 3, п. 1). Элементы трансляционной группы Jr, являющейся инвариантной подгруппой пространственной группы кристалла, могут быть записаны в виде (5.4)

tn = {ЕI а„} = {ЕI H1Ci1 + п2а2 + п3ай} =

= {ЕI H1Ci1I {ЕI п2а2\ {Е | п3а3} = (9.2)

где R = E—единичный элемент точечной группы кристалла.

Из (9.2) видно, что группа Jr может быть представлена как прямое произведение трех одномерных трансляционных групп с элементами tn. = {Е\П;С1{} (t = l, 2, 3).

Группа трансляций — абелева (и циклическая), поэтому каждый элемент ее является классом, и ее неприводимые предст?в- $ 9]

ТРАНСЛЯЦИОННАЯ СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛА

Ю]

ления имеют размерность единица, т. е. являются числами (вообще говоря, комплексными). В самом деле, для абелевых групп число классов s, равное числу неприводимых представлений, равно порядку группы А; тогда из (6.22) следует, что размерности всех неприводимых представлений Ii=I.

Для того чтобы избежать трудностей, связанных для конечного кристалла с заданием граничных условий, разобьем бесконечный кристалл на одинаковые параллелепипеды с ребрами Ga1, Ga2, Ga3, где G—большое число (удобно считать G нечетным числом). Мы заменим граничные условия условиями цикличности Борна—Кармана, согласно которым все физические свойства и функции (волновая функция, волна колебаний атомов кристалла и т. д.) имеют одинаковое значение в точках г и г+Gai (? = 1, 2, 3), т. е. периодически повторяются во всех параллелепипедах, на которые мы разбили бесконечный кристалл.

Таким образом, применение условий цикличности позволяет рассматривать все явления и свойства кристалла в пределах одного выделенного в нем параллелепипеда (основной области) объема V = G3Q0, где Q0 = (0^0,5, a3J) — объем элементарной ячейки кристалла.

Условиям цикличности Борна — Кармана в случае трехмерного кристалла нельзя придать столь наглядный смысл, как в случае одномерной цепочки равноотстоящих атомов (см. гл. III, § 2, п. 3). Однако можно показать, что в математическом отношении условия цикличности для трехмерного кристалла эквивалентны любым граничным условиям на поверхности основной области, не влияющим на объемные свойства кристалла1).

Условия цикличности делают циклическую трансляционную группу конечной, так как смещению Gai соответствует единичный элемент смещения {ЕI Ga,} = {Е | 0}; таким образом, трансляционная группа Sr имеет порядок G3.

Рассмотрим неприводимые представления группы трансляций <?Г. Определим вначале неприводимые представления группы одномерной трансляции вдоль вектора аи состоящей из элементов tni = {E I Ii1U1).

Пусть элементу {Е | aj соответствует неприводимое представление (число) S1 что мы обозначим следующим образом:

{Е laj — s, тогда получим для элементов

{ЕI Ia1) = {? I aj \Е \ а,} — s • s = s', {ЕI /I1A1J = {? I а,}... {ЕI a,} s• s-... • s = s"., (9.3) {ЕI GaJ = •}? 10} —>- Sg = 1.

х) Борн M., К у нь X. Динамическая теория кристаллических решеток.—M.: ИЛ, 1958, с. 453. 98 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il

Последнее следует из того, что единичному элементу смещения {?|0} соответствует неприводимое представление (число)—единица. Из последнего равенства следует1)

2 JIt

S = Yт = е а (9.4)

где

IT1 = O1 1, 2, ..., G-1. Из (9.3) и (9.4) следует, что элементу tni = {E | It1CtJ соответствуют G неприводимых представлений
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 217 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed