Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
П(—!)'*> гДе h—азимутальное квантовое число k-vo электрона.
k
Ландау JI. Д., Лифшиц И. М. Квантовая механика — 3 изд.— M.: Наука, 1S74, § 30. §8] ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ГРУПП
91
Представим теперь, что характеры представлений D1 (а) определены не только для собственных вращений а, но и для несобственных Ja. Тогда табл. 11.7 должна быть дополнена пятью классами: JE = J, 8JC3, 3JCl и т. д. Характеры представлений этих дополнительных классов либо совпадают с характерами табл. 11.7 (для четных состояний), либо имеют противоположные знаки (для нечетных состояний).
Так как в табл. 11.3 представление T1 соответствует четным, а Г2—нечетным состояниям, то таблица характеров неприводимых представлений группы (включающей инверсию J) имеет вид, изображенный на табл. II.6, где % совпадает с табл. II.7.
Рассмотрим теперь, что вносят отдельные квадранты табл. II.6 В сумму при вычислении коэффициентов Clj по формуле (6.34). Квадранты 3 и 4 в сумме сокращаются, а 1 и 2 дают одинаковые вклады, которые затем делятся на вдвое большее число h. В результате для aj получается то же значение, что и для одного квадранта 1, т. е. как и для группы О.
3. Покажем теперь, как применять теорию групп к классификации нормальных колебаний многоатомных молекул. Мы рассмотрим задачу о малых колебаниях атомных ядер молекулы только в рамках классической механики.
Как известно из классической механики, система из N частиц, обладающая 3N степенями свободы и совершающая малые колебания около положения равновесия частиц г,- (i = l, 2.....JV)
обладает энергией
S = IE^-+4 E x,.a,ft?«ia«ft?. (8.9)
^ і, a mI * і, к, а, ?
Здесь uia (i = 1, 2, JV; а = х, у, г)—а-я прямоугольная (декартова) составляющая отклонения і-го атомного ядра молекулы от положения равновесия г;, х,-0, Ар—коэффициент квазиупругой силы для отклонений Uia и uk?. Из общего числа 3N степеней свободы молекулы три соответствуют ее поступательному смещению как целому, три другие—вращательному движению молекулы как целому. Таким образом, собственно колебательных степеней свободы в молекуле 3JV—6. Соответствующим линейным преобразованием можно из (8.9) исключить эти шесть степеней свободы. Затем посредством соответствующего линейного преобразования можно ввести нормальные координаты Qia (і, а = \, 2,3, ..., (3N—6)!); тогда энергии $ приобретают вид
fi
& = (8-Ю)
і, а і а= 1
1) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. / Теоретическая физика, т. 1,— Механика.—4 изд.—M.: Наука, 1973, гл. V. 92 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il
где со,-—частота нормального колебания. Мы ввели у нормальных координат Qia двойной индекс ia, где і пробегает значения, соответствующие различным частотам со,-, а а пробегает /,-значений соответствующих /,- линейно независимым нормальным координатам колеблющимся с данной частотой со,-; величина /,-называется кратностью вырождения частоты со,-; очевидно, что
2/,. = 3^-6. і
Обычно структура молекулы удовлетворяет некоторой группе точечной симметрии. Например, молекула аммиака NH3 имеет форму правильной треугольной пирамиды, в вершине которой расположен атом азота N, а в вершинах равностороннего треугольника основания три атома водорода Н. Молекула NH3 обладает вертикальной осью симметрии C3, проходящей через атом N и тремя плоскостями ov, каждая из которых проходит через ось C3 и один атом Н. Группа симметрии молекулы аммиака C3v состоит из шести элементов Е, 2C3, 3ov. При преобразованиях группы симметрии молекулы ее динамические коэффициенты кіа, fc? и т,-не меняются, поэтому не меняются нормальные частоты колебаний (O,-.
Подействуем оператором Pr (6.1), где/?—элемент симметрии молекулы, на потенциальную энергию в (8.10):
( , fi \ , fi
V і а=1 ) і a=l
1 N
= 2 E a? E (hQi*) (PRQia) ¦ (8.11)
і a= 1
Мы видим, что для того, чтобы преобразованные нормальные координаты PRQia сохранили смысл нормальных координат при тех же частотах ш,-, необходимо, чтобы
= (8.11а)
?
где R~1(i) = k—положение идентичного атомного ядра молекулы, а Г (/?)!&—матрица линейного ортогонального преобразования. Совершенно так же, как это было сделано в § 6, можно показать, что матрицы Г (R) и) образуют представление группы симметрии молекулы с базисом Qia (ос=1, 2, ..., /,). Если исключить случайное вырождение частот со,-—это представление будет неприводимым. Размерность этого неприводимого представления равна кратности вырождения частоты колебания /,..
Преобразование (8.11а) аналогично преобразованию (7.15) в квантовой механике. Роль вырожденного уровня энергии $ играет частота нормальных колебаний со,-, а роль волновых §8] ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ГРУПП
93
функций ф,-(jr) (i = 1, 2, ..., /) — нормальные колебания Qia (а = 1, 2, ...,/,).
Задача определения собственных частот и нормальных координат для многоатомной молекулы—сложная динамическая задача. Теория групп позволяет, не решая этой задачи, определить число собственных частот со,-, кратность их вырождения и даже форму соответствующих им колебаниям.
Для выполнения этой программы мы определим общее приводимое представление, осуществляемое сразу всеми колебательными координатами, а затем разложим его по неприводимым представлениям группы симметрии молекулы. Для нахождения полного представления используем то, что характеры представлений инвариантны относительно преобразования подобия. Поэтому для их вычисления можно воспользоваться не нормальными координатами, а прямоугольными смещениями ядер uia.
