Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
где через D1 (а) мы обозначили матрицу (2/-j-l)-ro ранга неприводимого представления, соответствующего вращению на угол а (обозначение Вигнера от немецкого слова Darstellung—представление). Сравнивая в цепи равенств (8.4) третье звено с последним, легко видеть, что
D1 (a)m„n = O,n„ne-im'a, (8.5)
где 6m,m—символ Кронекера.
Мы видим, что неприводимые представления непрерывной группы вращений характеризуются числом I (размерность представления равна 2/+1). Таким образом, s-состояние (1 = 0), р-состояние (/=1), d-состояние (1 = 2) и т. д. являются неприводимыми представлениями электрона в сферически-симметрич-
1) Мы рассматриваем общий случай, когда V (г) не кулоновская потенциальная энергия.
2) См., например, Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики.— M.: Наука, 1976, § 25, 49. 88 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ
1ГЛ. Il
ном поле. Мы видим, что как число неприводимых представлений, так и число элементов группы бесконечно.
Характер неприводимого представления D1 (а) равен
Xt(O)= S Dl(O)mm= S
m=-l m=-l
Мы имеем геометрическую прогрессию из 21 + 1 членов с пер-л членом ella и знаменателем е~1а, ее сумма равна
eila[(e~ia)2l+l - l] g-i ('+1)« — gf и
Хг (а) = -
Умножая числитель и знаменатель на e?ot/2, получим для характера неприводимого представления D1 (а)
sin (2/+1) Щ
Xi («) =-(8-6)
Sin-
2. Если поместить посторонний атом в узел кристаллической решетки (примесный атом), то сферическая симметрия поля, действующего на электрон в свободном атоме, снижается до симметрии, определяемой симметрией кристалла. Такое уменьшение симметрии поля, действующего на электрон в атоме, должно, вообще говоря, вызывать расщепление вырожденных уровней его энергии (§ 7, п. 2).
Если поле сферической симметрии заменить полем более низкой симметрии, например кубической О, то базисные функции Ylm ({>, ф) (8.3) и в этом случае реализуют представление группы О, т. е. матрицы D1(R) (8.4), где R — элемент группы Oy осуществляют представление группы О размерности (2J + 1). Однако в общем случае это представление будет приводимым; это следует хотя бы из того, что максимальная размерность неприводимых представлений группы О равна трем, поэтому при (2/ + 1)>3 представление D1 (R) должно быть приводимым. Так как мы предполагаем, что неприводимым представлениям соответствуют разные уровни энергии атома, то, разлагая приводимое представление D1 (R) на неприводимые представления группы О, мы определим характер расщепления уровней энергии с разными I в поле кубической симметрии О.
Воспользовавшись выражением (8.6), определим характеры для разных I, для классов группы О. Например, для I = I §8]
ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 88
(р-состояние) имеем:
, ч sin (За/2)
Xi (а)-—-^i
sin (а/2) '
X1(^) = Xi(O)= =
Xi (C3) = Xi (I20°) = ^gl = 0,
X1 (C2) = Xi (180°) = = -1,
Xi (Ci) = Xi (90°)=-??^- = I.
Аналогично могут быть определены характеры Хг Для Других значений I. В результате мы можем составить таблицу II.9 для приводимых представлений D1, соответствующих классам группы О. Пользуясь табл. II.7 и формулой (6.34), можно определить, какие неприводимые представления кубической группы О содержатся в представлениях D1.
D0 = A1, т. е. невырожденный уровень s-со-
стояния не может, конечно, расщепиться и переходит в единичное представление группы О.
D1 = Fi, т. е. трехкратно вырожденный уро-
вень d-состояния не расщепляется в поле кубической симметрии. (8.7)
D2 = E + F2, пятикратно вырожденное d-состояние
должно расщепляться, так как наибольшая размерность неприводимых представлений группы О равна трем; d-уровень расщепляется на два уровня: двукратно вырожденный и трехкратно вырожденный.
D3 = A2 + F1 + F2, семикратно вырожденное /-состояние
расщепляется на одно невырожденное и два трижды вырожденных состояния.
Di = A1 + E + F1 + F2, девятикратно вырожденное g-состо-
яние расщепляется на одно невырожденное, одно дважды вырожденное и два трижды вырожденных состояния. 90 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il
Таблица II.9
о e 8 c3 зсі 6 C2 6 C4
d0 1 1 1 1 1
d1 3 0 —1 —1 1
d2 5 — 1 1 1 —1
d3 7 1 —1 —1 —1
d1 9 0 1 1 1
Рассмотрим теперь расщепление термов атома в поле кристалла кубической симметрии, обладающего центром инверсии J, точечной группой которого является группа Oh = OxCi, где группа второго порядка Ci = [Е, У}. В этом случае при действии оператора инверсии J на волновую функцию системы последняя либо остается без изменения, либо меняет свой знак1)
JV(x) = V(~ X) = ± Ip(Jf),
это непосредственно следует из того, что Ji = E (см. (7.14)) и соответственно
X(J) = ±1, (8.8)
как это следует из табл. I1.2.
. Таким образом, характер инверсии для четных состояний системы равен +1, а для нечетных —L
В первом случае волновую функцию (и соответствующее состояние) называют четной, а во втором—нечетной. Так как для рассматриваемых систем оператор J коммутирует с гамильтонианом §С, то четность или нечетность волновой функции сохраняется во времени; это положение получило название закона сохранения четности. Можно показать, что для одноэлектронной волновой функции в атоме четность состояния равна (—1)', где I — азимутальное квантовое число электрона. Для многоэлектронного атома в одночастичном приближении четность равна
