Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
F3 = C1I11+а2Г2+а3Г3
и
O.=-
3-1+2-0-1+3-1-1
Ь
Таким образом,
3-1+2-0-1+3-1-(-1) 3-2 + 2-0-(-1) + 3-1-0
F2 = ГХ + Г3,
= 0, = 1.
поля F1 и
т. е. трехкратно вырожденный уровень F2, под действием симметрии D3 расщепляется на невырожденный уровень двукратно вырожденный уровень Г3.
3. Наряду с прямым произведением двух групп введем важное понятие о прямом произведении неприводимых представлений одной группы.
Пусть имеется два неприводимых представления
группы T1 неприводи-
и Г2 размерностей / и т. Базисные функции этих мых представлений:
T1: ^1, г|>2, ..., % ..., 'Mpl, Г2: Cp1, <р3, ..., q>A.....<ря. (7.17)
Легко видеть, что произведения г^ф^. (t = 1, 2, ..., I, k = 1, 2, ...,т) тоже образуют базис представления группы размерности I-т. В самом деле,
Pr №«Р*) = PrVi • ЛгФ* = 2 Ti- (R)ft ty 2 Г, (R)pk <ря =
/ р
= 2 [I11 (R)/t гз (/?),J г|)/Фя = 2 Г (R)fp,tk г|>,ф„ /,р />р где матрица Г(R) = T1(R)XT2(R), т. е. равна прямому произведению матриц T1 и Г2 (см. Приложение 3, п. 6).
Отсюда, совершенно так же как в § 6, п. 5, следует, что прямое произведение матриц неприводимых представлений группы есть тоже ее представление. Однако, в то время как прямое произведение неприводимых представлений двух разных групп есть тоже неприводимое представление прямого произведения групп, — прямое произведение неприводимых представлений одной группы есть, вообще говоря, ее приводимое представление.
Аналогично (6.38) можно показать, что характер %(R) представления Г равен произведению характеров X1(R) и %2(R) не-86 SJIEMEHTH
ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ
1ГЛ. Il
приводимых представлений T1 и T2, т. е.
X(R) = Xi(R)XAR)- (7.18)
Приводимое представление T = TjXT2 может быть разложено по формулам (6.32), (6.34) на неприводимые представления группы.
§ 8. Применение теории групп к исследованию расщепления уровней энергии примесного атома в кристалле и к классификации нормальных колебаний многоатомной молекулы
Рассмотрим два примера применения теории групп в физике: 1) расщепление энергетических уровней атома (иона) в поле кристалла и 2) исследование собственных колебаний молекулы.
Первый из этих вопросов имеет прямое отношение к исследованию примесных атомов в твердом теле, второй — представляет собой не только поучительный пример применения теории групп в физике, но и существен для изучения колебаний кристаллической решетки.
1. Для исследования первого вопроса предварительно рассмотрим непрерывную группу вращений.
Наряду с конечными точечными группами, рассмотренными в § 3, существуют так называемые непрерывные точечные группы с бесконечным числом элементов. Это группы аксиальной и сферической симметрии. Мы остановимся только на группе сферической симметрии 5?,-, которая состоит из бесконечного числа поворотов на произвольные углы вокруг любых осей, проходящих через неподвижную точку О, и отражений в любой плоскости, содержащей ту же точку О. Так как <тлС2 = ./-инверсии, то можно сказать, что группа сферической симметрии состоит из произвольных вращений вокруг всех осей, проходящих через центр, и инверсии. Заметим, что подгруппа сферической группы, состоящая только из всех произвольных вращений, получила название группы собственных вращений Sl или просто группы вращений (см. (П.3.33) и дальше), в отличие от сферической группы (включающей инверсию), которую называют также группой несобственных вращений. Очевидно, что Sii = SixCi, где Ci = IE, J}.
Очевидно, что в группе вращений Si все оси эквивалентны и двусторонни; поэтому классами этой группы являются повороты на заданный по абсолютной величине угол а вокруг любой оси. Классы группы Sli получаются непосредственно из прямого произведения SixCi.
Для определения характеров непрерывной группы вращений Si, рассмотрим решения уравнения Шредингера с гамильтонианом, инвариантным относительно группы Si. Рассмотрим электрон§8] ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 87
в поле сферической симметрии, для которого гамильтониан
где потенциальная энергия электрона V (г) = V (j/x2 + у2 + г2) обладает сферической симметрией J).
Волновые функции уравнения Шредингера с гамильтонианом (8.1) имеют вид 2)
= ф). (8.2)
Здесь г, ф — полярные координаты электрона, п, I, т — главное, азимутальное и магнитное квантовые числа, Rnl(r)— радиальная часть волновой функции, зависящая от конкретного вида потенциала V (г) и
Kln (0, ф) = Я/и(соз0)е-ф (8.3)
— сферическая функция, где Plrn (cos -&) — полином степени I от cos непосредственно выражающийся через полином Лежандра Я, (cosu). Собственные значения энергии <§nl (2/+1)-кратно вырождены по магнитному квантовому числу т (т= —I, —/ + 1,. ..
1.....I).
Для определения неприводимого представления, соответствующего повороту вокруг любой оси на угол а, выберем в качестве оси поворота ось г, тогда в соответствии с (7.15) получим
PaVnlm = Vnlm (V-1X) = Rnl (іГ) Plm (C0S^)e"»"-«> -
I I
= S D< («)m'mW = 2 DL{a)m.mRnl{r) Pim. (cosb) eim'v, (8.4)
m'——l m'= - I