Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ансельм А.И. -> "Введение в теорию полупроводников" -> 30

Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.

Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников — Москва, 1978. — 618 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriupoluprovodnikov1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 217 >> Следующая


Tp1(X)f Ip2(X), ..., Xpi(X).....Ч>,(*)- (7-2)

Из квантовой механики известно, что эти функции всегда можно считать ортонормированными J), т. е. скалярное произведение

М, = S 1P? (*) % (X) dx = 6,.ft, (7.3)

где dx = dx1 dx2 ... dxn.

Любое решение уравнения (7.1), соответствующее собственному значению ?, может быть представлено как линейная комбинация функций (7.2).

Представим себе, что рассматриваемая система обладает некоторой симметрией, например пространственной симметрией некоторой точечной группы или симметрией по отношению к перестановкам тождественных частиц между собой.

Всякая операция такой симметрии (вращение, отражение, инверсия, перестановка частиц) связана с некоторым линейным преобразованием конфигурационных координат системы, которое может быть записано в виде

x' = Rx, (7.4)

где R—вещественная ортогональная матрица линейного преобразования. Обратное (7.4) преобразование имеет вид

X = R1X', (7.5)

где R-1—обратная матрица. Для вещественных ортогональных матриц R~1 = R,t. е. (R-^ij- = Rji (см. (П.3.28)). Например, равносторонний треугольник (рис. II.1) может быть описан шестью координатами X1, х2, ха, Xi, хъ и х6, которые последовательно равны координатам х и у вершин 1, 2 и 3.

Операции D (вращению на 120° по часовой стрелке вокруг оси, перпендикулярной к плоскости треугольника и проходящей

1J См. в Приложении 3 п. 5 аналогичный вопрос об ортогонализации собственных векторов, соответствующих одному собственному значению эрмитовых матриц. §7]

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И ТЕОРИЯ ГРУПП

81

через его центр) соответствует преобразование *)

х[ = х3 = 0-х1 + 0-х2+1-х3 + 0-хі + 0-хі + 0 -хв 0-х1 + 0-х2 + 0-х3 + 1-хі + 0-х6 + 0-хв

Х% — X^ X3 = Xb= . . . . Х& — Xq = . . . .

Х& — X^ —

Xg==X2= ... +1

A-X5 +

+ I-Xe

'X2 +

(7.6)

так, что матрица ортогонального преобразования

R

го о о

0

1

LO

ол о

0

1 о о

(7.7)

Легко убедиться в том, что обратное преобразование

R-1 =

о

0

1 о о

LO

01 1 о о о о

и что, действительно,

R-1 = R.

(7.8)

(7.9)

Если система обладает некоторой симметрией, так что она совпадает сама с собой при преобразовании координат (7.5), то потенциальная энергия системы V(x), входящая в гамильтониан S%(x) в (7.1), удовлетворяет условию

V (х) = V (R-1Xr) = V (х'), (7.10)

где мы в V (х) произвели преобразование (7.5) от л: к х'. Например, потенциальная энергия электрона в поле ядра атома Ze2Ir обладает сферической симметрией, т. е. не меняется при любых поворотах атома (или координатной системы) вокруг начала координат, совпадающего с ядром. Действительно, производя ортогональное преобразование (7.5) по отношению к координатам электрона X1 = X, X2 = у и X3 = z, получим

Ze2



(7.11)

1) При этом вершина треугольника 1 переходит в вершину 2, 2 в 3 и 3 в 1, 82 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il

Так как оператор Лапласа инвариантен относительно ортогональных преобразований (7.5), то

? (х)=Ж (R-ix')=M (х'). (7.12)

Если мы произведем замену координат (7.5) во всем уравнении (7.1), то получим

Ж (Xr) V (R-1X') = S^AR-1X'), где мы переменные х' можем, конечно, обозначить через х:

Ж (х) ^I(R-1X) = S^(R-1X). (7.13)

Все преобразования симметрии, оставляющие гамильтониан инвариантным, носят название группы уравнения Шредингера.

Сравнивая (7.13) с (7.1), мы видим, что функция і|з(/?_1дг) = = ср (х) удовлетворяет тому же уравнению, что и функция Ij) (х) при том же собственном значении энергии S-

Если собственное значение S не вырождено, то ср (х) может отличаться от г|з (х) только постоянным множителем, т. е.

Cp(X) = CV(X). (7.14)

Если R2 = E, то с2 = 1 и, следовательно, с = ± 1. Таким образом, в случае R2 = E существуют два решения уравнения (7.1): одно, не меняющее свой знак при преобразовании симметрии (симметричное), и другое, меняющее свой знак на обратный при преобразовании симметрии (антисимметричное) J).

Если же собственное значение S /-кратно вырождено, так что ¦ф (лг) = i^1- (лг) и равна одной из функций (7.2), то яр,- (R-1X) (см. (7.13)) является решением уравнения Шредингера (7.1) для того же собственного значения энергии S, поэтому оно должно выражаться линейно через волновые функции (7.2):

if, (R-1X) = PRVi (X) = S г (R)kl Vk (X). (7.15)

A = 1

Это выражение совпадает с (6.2) для преобразования базисных функций Opj.. Из (6.3) следует, что элементы матрицы Г (R)ki — матричные элементы оператора Pr, построенные на волновых (базисных) функциях (7.2). Из (6.5а) следует, что унитарные матрицы Г (R) в (7.15) осуществляют представление группы уравнения Шредингера (7.1).

Мы можем сделать важное заключение, что каждому собственному значению энергии S соответствует определенное (с точностью до преобразования подобия) представление группы уравнения Шредингера.

1) См. решение для атома гелия во введении (§ 1), §7]

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И ТЕОРИЯ ГРУПП

83

В дальнейшем мы будем считать, что если нет случайного вырождения, то представление группы уравнения Шредингера, соответствующее определенному собственному значению энергии, является неприводимым.
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 217 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed