Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ансельм А.И. -> "Введение в теорию полупроводников" -> 28

Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.

Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников — Москва, 1978. — 618 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriupoluprovodnikov1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 217 >> Следующая


число неприводимых представлений = числу классов (6.30)

Можно вывести2) соотношение, аналогичное (6.27), имеющее

1J Tinkham М. Group Theory and Quantum Mechanics.—McGraw-Hill Book Co, 1964, гл. 3.

2) См. там же. 74 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il

ВИД

SxHCJxi(Cl)=-^ew, (6.31)

і

где ортогональность характеров имеет место не между разными представлениями, а между разными классами.

Хотя характеры неприводимых представлений дают меньше информации, чем сами неприводимые представления, во многих случаях они достаточны для решения физических задач. Поэтому представляется заманчивым получить характеры неприводимых представлений разных классов, не определяя в явном виде сами неприводимые представления. Это можно сделать, воспользовавшись следующими соотношениями: (6.30), (6.22), (6.27), (6.31).

Таблицу характеров мы будем строить так, чтобы каждой строке соответствовало определенное неприводимое представление, а каждому столбцу определенный класс. Из (6.30) следует, что число строк и столбцов должно быть одинаковым, т. е. таблица характеров квадратная. Если первой строке соответствует единичное представление, то характеры ее для всех классов равны единице. Если первому столбцу соответствует класс Е, то характеры неприводимых представлений, согласно (6.24), равны их размерностям Ii, которые могут быть определены из (6.22) (обычно при заданном h и s величины Ii определяются однозначно). Зная первую строку и первый столбец таблицы, можно остальные характеры определять подбором так, чтобы удовлетворялись условия ортонормированности характеров по строкам (6.27) и по столбцам (6.31). Обычно этих условий хватает с избытком, так что часть их служит для проверки таблицы1).

Используя сформулированные выше свойства таблицы характеров, легко построить ее для любой группы второго порядка. В этом случае группа абелева и оба неприводимых представления, как это следует из (6.22), имеют размерность единица. Используя условие ортогональности строк (или столбцов), получим для групп Ci = {E,J\ и Cs = Clh = \Е, oh\ табл. II.3.

Проиллюстрируем еще приведенные выше соотношения на примере группы D3 (§ 2, п. 2). Эта неабелева группа шестого порядка (h = 6) состоит из трех классов:

C1 = J?, C2 = [А, В, С) = ZC2, C3 = {D, F} = 2 (C3-, Cl).

Так как число неприводимых представлений этой группы тоже должно равняться трем, то три неэквивалентные представления (6.16) являются неприводимыми представлениями. Мы видим, что

*) Не существует определенного алгоритма для составления таблицы характеров, так что в этом деле нужна некоторая сноровка; правда, нужно сказать, что для интересующих физиков групп такие таблицы имеются. S 6] НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП 75

Таблица II.3 Таблица II.4

C1 E J
Cs E Он
Ti 1 1
Ti 1 —1

D3 E 3 C2 2 (с3; Cl)
Ti 1 1 і
га 1 —1 і
г3 2 0 —і

для каждого представления характеры, относящиеся к одному классу, одинаковы. В табл. 11.4 даны характеры группы D3 (множители при C2 и C3, напоминают о числе элементов в классе). Из таблицы видно, что сумма квадратов размерностей представлений равна порядку группы (6.22): I2 + I2+22 = 6. Легко проверить выполнимость (6.27), например, условие нормировки для T3 имеет вид: 22+ 3-0 + 2-(—I)2 = 6; условие ортогональности между T2 и T3: 1-2 + 3-(-1)-0 + 2-1-(-1) = 0. Так же можно проверить выполнимость (6.31); например, нормировка столбца C2: I2+ (—I)2 +0 = 6/3 = 2, а ортогональность между Ci и C9: Ixl +1-1+2-(—1) = 0. Можно проверить и остальные соотношения.

4. Представим себе некоторое приводимое представление Г. Посредством соответствующего преобразования подобия все матрицы приводимого представления T(P) (R—элемент группы) могут быть одновременно приведены к квазидиагональным матрицам одинаковой структуры, в которых неприводимое представление Ti(R) встречается а,- раз1). Мы будем писать

Г = OtTi +aJt,+ . -. +CisTs = ^aiTi, (6.32)

і

понимая условность этой записи (справа у нас стоит «сумма» матриц разного ранга; она иногда называется прямой суммой). Так как при таком преобразовании подобия характер матрицы не меняется, то

X(R)=^aiti(R) (6.33)

(здесь уже сумма и равенство не носят условного характера). Пользуясь условием ортогональности характеров неприводимых представлений (6.26), получим из (6.33)

X (Я) Xi (R) = ? в/ § ь {Ю (R) = ? a'hSiJ=ha^1

1J Можно доказать однозначность такого разложения; конечно, некоторые Qi могут оказаться равными единице или нулю. 76 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il

откуда

г

R k-1

где Nk—число элементов в классе Cft.

Эта формула, определяющая, сколько раз данное неприводимое представление Tj встречается в приводимом представлении Г, играет важную роль во всех приложениях.

5. В § 2 п. 5 мы ввели понятие о прямом произведении групп

Ъ = [A1^bE, A2, A3, ...,AftJ кЪ = {В1^Е, в*> ?3.....ад,

которое мы обозначили как SCXй.

Пусть T1 — некоторое представление группы Ш, а T2—представление группы S?, вообще говоря, другой размерности. Покажем, что прямое произведение (см. Приложение 3, п. 6) представлений Ti (Aft) x T2 (B1) есть представление прямого произведения группах©. Пусть элементы группы прямого произведения перемножаются по закону
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 217 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed