Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
рнц. Для абелевых групп размерности всех неприводимых представлений должны равняться единице.
Неприводимые представления групп играют основную роль в применении теории групп к физическим проблемам. Как будет пояснено ниже, число неприводимых представлений группы равно числу ее классов.
3. Для неприводимых, неэквивалентных, унитарных представлений имеет место следующая теорема ортогональности1):
? Tti (A)livTj {RU = Jf 6/Aaov?. (6-19)
r '
Здесь суммирование ведется по всем h элементам группы (A = A1, A2, A3, ..., Ah)\ і и / — номера неприводимых представлений, Ii— размерность і-го представления (так как правая часть (6.19) отлична от нуля только при і = /, то вместо Ii можно писать Ij); Г*- (A)ttv—комплексно-сопряженный p-v-й элемент матрицы і-го неприводимого представления для элемента группы R.
Правая часть (6.19) отлична от нуля только при i = j, |x = a и v = ?, в этом случае
LiriWaP I2 =-f. (6.20)
r '
Мы видим, что левая часть от а и ? не зависит. Из (6.19) следует, что
Sr? Wiivry (A)mv = о при іф],
r
И (6.21)
^ г; (R)vbvTi (A)a? = о при Ii фа или vф?.
Из (6.21) видно, что матричные элементы Tl-(A1)tiv, T1-(A2)tiv, ... . . . , T1- (Ah)iiv для всех h элементов группы можно рассматривать как компоненты /і-мерного вектора, который ортогонален к любому из векторов, полученному для других индексов [I И V, а также ортогонален к любому из подобных векторов для другого /-го неприводимого представления.
Аналогично в обычном трехмерном пространстве ортогональность трехмерных и двумерных векторов записывается в виде з
S^A = ab = 0, і = х, у, г, і= 1
2
S аД = ab = 0, і = х, у.
і) Петрашень М. И., Трифонов Е. Д. Применение теории групп
в квантовой механике.—M.: Наука, 1967, гл. III, п. 8. 72 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il
Если имеется всего S неприводимых представлений, то пол-
S
ное число таких взаимно ортогональных векторов равно 2 Ц>
і= і
так как для і-го представления число матричных компонент равно Р{. Но в пространстве h измерений нельзя построить больше
S
чем h взаимно ортогональных векторов, поэтому 2 I2^h. Мож-
?=1
но показать (на чем мы останавливаться не будем), что в этом соотношении выполняется предельное равенство1), т. е.
S
212l = Ii- (6.22)
1=1
Введем важное понятие о шпуре (т. е. сумме диагональных элементов) матрицы представления; в этом случае шпур называется характером и обозначается через Xi(R). Имеем
Xt (R) = Sp г,. (R) = 2 Г; (R)w. (6.23)
ц=1
ЗдесьIi — размерность і-го представления. Для характера единичного элемента из (6.23) следует
X1-(^) = 2 T1-^W= 2 1=//, (6.24)
н=1 н=1
т. е. характер неприводимого представления единичного элемента группа равен размерности представления.
Из (6.11) следует, что характер (шпур представления) не меняется при преобразовании подобия. Поэтому характеры эквивалентных представлений совпадают. Так как представления элементов одного класса группы связаны преобразованием подобия (см. (2.3)), то Г (?) = T(V)-1T(^)T(V), и характеры для всех элементов класса одинаковы; поэтому можно написать
Xi (R) = Ii (Cft), если R g Cft, (6.25)
где Cft символ /г-го класса.
Для приложений имеет важное значение следующая теорема ортогональности характеров:
IlXt(R)Xj(R) = Mtj1 (6.26)
H
или, учитывая (6.25):
2 ВД (Cft) X,. (Cft) = «5,.,., (6.27)
1) Хамермеш М. Теория групп,—M.: Мир, 1966, с, 133- S 6] НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП 73
где Nk— число элементов в классе Cft и суммирование ведется по всем k классам. Для доказательства (6.26) положим в (6.19) (X = V и cc = ?, тогда StiaSvfi = SliaSlia = Slia и
E (ЮццГ/ (R)aa = -JT Sij Stia. R '
Суммируя обе части равенства по ц. и а, получим
? ? п ^w? rJ{r)™=7г 6^ ? 6^-
R Ii а iia
Используя определение характеров (6.23) и учитывая, что S^W = S (или S^n« = ',-, что безразлично), и сокращая
Iia ц V Iia
Ii в правой части, получим (6.26). Из (6.27) следует, что
f 0, если іфі,
= если J1 (6.28)
Заметим, что это выражение может служить критерием неприводимости представления. Представление Ti неприводимо тогда и только тогда, когда
S ^ft| Xi(Cft)Ia = A. (6.29)
к
Если представление Г (R) содержит, например, два неприводимых представления I и II, то очевидно, что для него %(R) = = X1W-HXiiW (см- ниже (6.32)). Поэтому для него сумма SlxW I2 равна 2h, если представления I и II неэквивалентны
R
и их характеры ортогональны, и равна Ah, если они эквивалентны. То есть условие (6.29) является достаточным и необходимым условием неприводимости.
Будем теперь рассматривать отнормированные характеры
классов VN1Ii (C1), V~Nlli (C2)1 • • •. VNkXi (Cft) как составляющие вектора в пространстве классов (аналогично тому, как это делалось для составляющих Ti- (A)^v)- Тогда из условия взаимной ортогональности таких векторов (6.27) следует, что число неприводимых представлений меньше или равно числу классов. И в этом случае можно доказать1), что выполняется предельное соотношение, т. е.
