Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
(2Л9)
о
Удобно ввести следующий символ усреднения:
OO
<Х"> = зТ^ (2'20)
о
Если g-= const, то
OD
о
как это следует из (П.7.12).
Таким образом, плотность тока
Jn = ^<Xn>. (2.21)502 КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ ' [ГЛ. IX
Электрический ток, обусловленный дырками, вычисляется аналогично. Если ввести для дырок вектор Хр, связанный с %р (2.12) соотношением
(2-22)
ир
то
где
... ^р-Ур^рН Tp^(HPr)H
Хр~ 1 + IypIpHf » V-z0I
Pn=
е' + ео + С
P еТ
+ ф) (2.23а)
ур = е/пгрс. (2.236)
Так как для дырок интеграл (2.15) имеет противоположный знак, но связь между %р и %*р (2.22) не содержит знак минус, подобно (2.16), то плотность тока
Л=т?<х;>, (2.24)
аналогично (2.21). Общий ток, обусловленный электронами и дырками, равен
J=Jn +Jp = j^ <Ґп> + ^ <ҐР>, (2.25) где Il и х; равны (2.17) и (2.23).
§ 3. Электропроводность невырожденных полупроводников с простой зонной структурой
Рассмотрим электрический ток в однородном электронном полупроводнике в отсутствие градиента температуры и магнитного поля (VT = 0, V? = 0, 7/=0); в этом случае
х* = тя = т(-уф) = т?, (3.1)
где E—напряженность электрического поля1). Из (2.21) и (3.1) следует, что
J = ^-<xyE = oE, (3.2)
где о—удельная электропроводность. Отсюда и из (VI.7.7а) следует, что подвижность электронов
и = —= -<т>. (3.3)
r^enm v '
J) Для упрощения записи мы у соответствующих величин в выражениях (3.1) — (3.6) опускаем индекс п.§3] НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ 503
Если время релаксации т от энергии е не зависит, то
fx = ех/т, (3.3а)
как это следует из (2.20а). Если ввести среднюю дрейфовую скорость носителей тока г>др, положив по определению
J=aE=env др, то из сравнения с (3.3) следует
т. е. подвижность численно равна дрейфовой скорости (но не имеет размерности скорости!) при напряженности электрического поля Е, равной единице.
В предыдущей главе мы рассмотрели ряд механизмов рассеяния электронов в кристаллах, для которых время релаксации имеет вид
x = asr = a (kJY хг = х0хг, (3.4)
где x = ?,jk0T и x0 = a(k0T)r от х не зависит. Из (3.4), (2.20) и Приложения 7, п. 2 следует, что
<т>=яТ'5Тнг(т+')- <3-4а)
Из (VIII.4.11), (VIII.7.14), (VIII.6.7), (VIII.6.13) следует, что для рассеяния электронов на:
а) акустических колебаниях х = аА (k0T)~3'2 х-1'2; (3.5а)
б) ионах примеси x = aI(k0T)3/2 х3'2; (3.56)
в) оптических колебаниях в ионных кристаллах выше
температуры Дебая X = Ctpik0T)-1'2 х1'2; (3.5в)
г) и ниже температуры / ^w0 \
Дебая т = аоРехр (3.5г)
Для области эффективного пьезоэлектрического рассеяния зависимость времени релаксации т от T и X = Sjk0T такая же, как в случае в). Значения аА, aIt аР, и аоР могут быть определены из сравнения выражений (3.5а) — (3.5г) с соответствующими выражениями гл. VIII.
Подставим (3.5а) — (3.5г) в (3.3); используя Приложение 7, п. 2, получим:
б) ^ = (3.66)
в) (3'6в)
г) I4-^exp ехр (?. (3.6Г)504 КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ '
[ГЛ. IX
Если одновременно действуют несколько механизмов рассеяния, то время релаксации, которое нужно подставить в (3.2), определяется по формуле (VI11.7Л7).
Сравнивая (VIII.4.11) с (3.6а), получим для подвижности, обусловленной рассеянием на акустических колебаниях,
где плотность кристалла р = MfQ0. Конечно р, V0, Сит* зависят от температуры, но зависимость эта слабая, поэтому в основном подвижность (i <х>
Электрический ток, обусловленный дырками, вычисляется по формуле (2.24). Полный ток
где п и р—концентрации электронов и дырок, а подвижность дырок цр, обусловленная, например, взаимодействием с акустическими колебаниями, определяется выражением (3.7), в котором константа взаимодействия С и эффективная масса tri* должны быть взяты для дырок.
Зависимость, близкая к (3.7), наблюдается у п-Ge: ц„ео ^0 7-1,0« (100° < T <280°); однако для /J-Genp со Г-2'33 (в том же интервале температур). Для электронного и дырочного кремния: Hn(S)T-2-' (300° < T ^400°) и цр со Т~2>3 (150° < Г < 400°). Такие отступления от теории, которая для полупроводников с кова-лентными связями Приводит k закону H (Si T-3/2, объясняются различными причинами: дополнительным рассеянием на оптических колебаниях решетки, междолинными переходами электронов при их рассеянии и непараболичностью зоны, т. е. зависимостью эффективной массы электрона от его энергии.
При понижении температуры доминирующим механизмом рассеяния становится рассеяние на ионах примеси, которое приводит к зависимости (3.66): цсуТ3/2 этот переход наблюдается на опыте, например, у п-Ge.
В некоторых случаях существенны одновременно несколько различных механизмов рассеяния. Например, подвижность, обусловленная взаимодействием с акустическими колебаниями, убывает при возрастании температуры как Т~3!2, а подвижность, связанная с рассеянием на ионах примеси, возрастает как Т3/2. Поэтому при высоких и низких температурах можно соответственно пренебречь рассеянием на ионах или взаимодействием с акустическими фононами, однако в промежуточной области температур будут существенны оба механизма рассеяния. Выводы настоящего параграфа справедливы при любой зависимости времени релаксации т от энергии, поэтому все выведенные выше