Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Структура члена Z1(A) в (2.3) будет обоснована ниже.
Мы определим добавку (к) из кинетического уравнения (VIII.2.6) и (VIII.2.11а):
Vbf-j- [Е + Ir*«] = (2.4)
т. е. в приближении времени релаксации т(е). 498 КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ ' [ГЛ. IX
Если мы интересуемся токами, пропорциональными E и \Т (линейная область явлений переноса), то поправка Z1 (А) тоже должна определяться в линейном приближении по E и V Т, а для этого в левую часть уравнения (2.4) надо подставлять /да/0-Таким образом,
V,/» Vrf0 =IlI^ VT-VC} , (2.5)
где мы считаем, что имеет место локальное термодинамическое равновесие, т. е. T = T (г) и ? = ?(/•). С другой стороны,
Мы видим, что в приближении f да слагаемое, содержащее магнитное поле в левой части (2.4), выпадает, так как \vH]v = 0. Таким образом, для того чтобы учесть магнитное поле в кинетическом уравнении (2.4), надо вычислить Vft/ в следующем приближении:
vft/=Vft [/„ г (в) а] = f. U-m vft (?) ¦- ^ vft да).
(2.6а)
Так как
то в (2.6а) не только первое, но и второе слагаемое дает нуль при умножении на [©//].
Для определения третьего слагаемого в правой части (2.6а) вычислим составляющую Va (%k) по оси kx
к <**>=к ^+V/.,+V/.,)=-/.,+( ^?+^?+^?)-
-V -Lffe dIv дЕ I h д%* дг \
Ix I- Iv"* де dkx -t- Ky -+- Kz дъ dkx J —
= %x + (kx^+ky^ + kz^)ivx.
Таким образом
V* m=t + {kx^- + ky^+k2^f)hv. (2.6b) Подставляя (2.5), (2.6а) —(2.6в) в (2.4), получим
Ir [ад} (??..- (2.7)
В левой части мы использовали циклическое свойство скалярно-векторного произведения1): [vH]% = [H%\v, в правой—заменили
1J Смирнов В. И., т. II, § 105. $2] НЕРАВНОВЕСНАЯ ФУНКЦИЯ
499
f1{k) на (2.3) и положили k = v/u(k). Выражение (2.7) оправдывает форму (2.3) для f1(k). Так как v произвольно, то из (2.7) следует для электронов проводимости
Здесь ф (г) — электростатический потенциал приложенного электрического поля E =— Уф; индекс п здесь и далее отмечает, что соответствующие величины относятся к электронам (negative).
В (гл. VI, § 2, п. 4) мы видели, что статистическое поведение дырок вполне эквивалентно поведению электронов, если приписать им энергию г' и химический потенциал равные
где еа—ширина запрещенной зоны. Тогда для дырок получим вместо (2.8)
%Р (О = - т, (e') Up (k') |е' + ег0+? VT-V (Е-«р) +j^ [ЯЦ ,
причем по сравнению с (2.8) для положительных дырок изменен знак заряда. Индекс р указывает, что соответствующие величины характеризуют положительные дырки (positive).
Для того чтобы (2.8) и (2.10) определяли неравновесные функции распределения для электронов и дырок, необходимо, чтобы времена релаксации тп и хр были много больше среднего времени жизни электрона (дырки) по отношению к процессам рекомбинации.
Если магнитное поле H= 0, то (2.8) и (2.10) непосредственно определяют 7„ и Xjp; при Нф 0 соответствующие уравнения должны быть решены относительно 7„ и %р. Можно показать (Приложение 23), что в этом случае
' ~ 2тр
(2.9) (2.9а)
C = -B0-S,
(2.10)
ЧТ+ V a-e<p)}-Ue-Mz Гн vr+ V е-«р)}]
+
H
(2.11) 500 КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ '
[ГЛ. IX
=_Xpti X
'{І±А±1.^JL [„{t+A+l ,T-V в-,)}]
х '+("fStw
Эти сложные выражения, как мы увидим ниже, значительно упрощаются в частных случаях, когда магнитное поле H= 0 или оно слабо (точное определение слабого магнитного поля дано ниже), когда градиент температуры VT = O1 и т. п. В случае простой зоны энергия электрона
є = Asfel/2m„, (2.13)
поэтому, как это следует из (2.2а),
J_ds_ _
fa dk ~~ In
1 дг Ті , „ .
= Tk=-ZT (2.13а)
и аналогично для дырок ир.
2. Вычислим электрический ток, создаваемый неравновесно распределенными электронами. Из (VI 1.2.14) следует, что плотность тока
J»= - 5? fVh {k) d3k = ~ ^ I¦^tu" w] (tnk) kd'k, (2.14)
где мы воспользовались (2.2) и (2.3); здесь х„ равно (2.11). Интеграл, стоящий в (2.14) в полярных координатах (полярная ось 2Il In), равен
J "Ж"и" ^nk cos ^ sin ^ cos ф jrJok sin ^ sin Ф +
+ k0k cos 0} /г2 dk sin fl dfl d<p
Здесь i0, J0, k0 — единичные векторы, направленные вдоль осей X, у, г. При интегрировании по ф от 0 до 2л; первое и второе слагаемые в фигурных скобках дают нуль; поэтому интегрирование по ф и & дает
2я Я
Jd<p Jcos2^sinfldd = ^y-. о о $2] НЕРАВНОВЕСНАЯ ФУНКЦИЯ 501
Таким образом, получим для (2.14)
QD
- зМ [--!1{k) ] *»(k} ki dk¦ (2-15> 0
Для тока, создаваемого дырками, надо в этом выражении заменить — е на е, /0—на равновесную функцию распределения ды-рок и Xn на Xp (2-12).
Для электронов в случае простой зоны энергия є и Un(k) равны (2.13) и (2.13а). Положим в этом случае
Х. = -|Ьй. (2-16)
где Xn равно (2.11); тогда
... т:лРп + Чп& IHPnI +Vta (HPn) H -
Хп~ i+tatf)2 { '
с
Pn=^W+V (т-fP) (2Л7а)
и
уп = е/тпс. (2.176)
Вычислим электрический ток, создаваемый «полем» равным
(2.16). Для невырожденного полупроводника, как это следует из (VI.2.11а),
а/0 4 яФв -P/t.r /9 18)
Подставляя это значение в интеграл (2.15), переходя в нем посредством (2.13) от переменной интегрирования k к х = Hfk0T и используя (2.16), получим
