Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, показатель 3 для степенной зависимости а"®п от энергии 1ш—E0^iWt, в случае запрещенных непрямых переходов, переходит в 5/2 выше е0 (несвязанные состояния) и в 3/2 ниже еа (связанные состояния).
3. Рассмотрим применение теории групп к выводу правил отбора для непрямых переходов в германии, в котором непрямые переходы были подробно изучены экспериментально. Известно (см. гл. IV, § 15), что зона проводимости германия состоит из восьми минимумов, центры которых расположены в точках L на границах зоны Бриллюэна (см. рис. IV.22).
На рис. IV.28, а схематически изображены энергетические зоны германия и указаны неприводимые представления, по которым преобразуется волновая функция электрона в симметричных точках зоны Бриллюэна. Теоретические и экспериментальные исследования показывают, что валентной зоне и зоне проводимости в точке A = O соответствуют неприводимые представления Г25 и Г2 группы Oh. Группа волнового вектора в точке L (см. рис. IV.22) является подгруппой группы Oh = TdXCi. Легко видеть, что вектор kL переходит в самого себя при действии следующих элементов группы Td: Е, 2C3, 3av, которые образуют группу C3v. Так как конец вектора kL лежит на границе зоны Бриллюэна, то инверсия J переводит его в эквивалентный волновой вектор; таким образом, группой волнового вектораkL является группа двенадцатого порядка D3d=C3vXCi, состоящая из шести классов: Е, 2C3, 3ov, J, 2JC3, 3Jav.
Мы представили группу D3d волнового вектора kL как прямое произведение: D3d = C3vXCi; это, как мы увидим ниже, удобно, так как из гл. II, § 5, п. 2 нам известно, что элементы группы TdXCi, а следовательно, и элементы ее подгруппы $3]
МЕЖЗОННЫЕ НЕПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ
423
C3iiXCi-, связанные с инверсией J, только тогда являются операциями симметрии решетки германия, если они сопровождаются нетривиальной трансляцией a = -2-(1, 1, 1). В табл. VII.1
представлены характеры группы D3dt при этом столбцам соответствуют одинаковые элементы симметрии, но один раз записанные через DsXCi, а другой раз через C3vXCi-; в самом деле, Jav = C2 и, как отсюда следует, Ov = JC2 (надо помнить, что С'2а_С3 и Ov проходит через ось C3).
Таблица VII.1
X Ci E to 3 Jcv J 2 JC3 3<Tj,
D3XCi E to ЗС'і J 2 JC3 3 JC2
L1 1 1 1 1 1 1
L2 1 1 —1 1 1 —1
L3 2 —1 0 2 —1 0
Ll 1 1 1 —1 —1 —1
Z.2 1 1 —1 —1 —1 1
L; 2 —1 0 —2 1 0
Из расчета и эксперимента следует, что неприводимые представления электронной волновой функции в валентной зоне и зоне проводимости в'точке L равны L3 и L1 (см. рис. VII.1).
Из рис. VI 1.1 мы видим, что в германии возможны непрямые переходы через ближайшие зоны по каналам: imf (Г2і—»-Га—L1) и im'f(T2i—*L3—+L1). В § 2, п. 3 мы показали, что прямой переход Г25—> Га, связанный с поглощением фотона, разрешен. Так же просто показать, что разрешен прямой переход L3—>-L1. Таким образом, нам остается только рассмотреть правила отбора для переходов Га—>¦ L1 и Га5—> L3, связанных с поглощением (испусканием) фонона с волновым вектором qL. Для этого предварительно определим, по каким неприводимым представлениям преобразуются нормальные колебания решетки германия в точке L. Мы должны действовать так, как в гл. III, § 8. Вначале мы должны определить полное приводимое представление, соответствующее всем колебательным степеням свободы в точке qL. Для германия число атомов в элементарной ячейке S = 2, поэтому размерность этого полного представления равна 3s = 3-2 = 6. Для определения характеров этого полного представления мы воспользуемся формулами (III.8.13) — (III.8.15).
Как было отмечено выше, элементы группы D3d = C3vXCi волнового вектора qL, связанные с инверсией J, должны сопро- 424
ОПТИКА- ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. VII
вождаться нетривиальной трансляцией а = -|-(1, 1, 1). Так как
при нетривиальной трансляции а ни один из атомов элементарной ячейки не сохраняет своего положения (nCJ = 0), то из (III.8.15) следует, что
t (JrIa) = Xй (Jov I a) = t (JC3 I a) = 0.
С другой стороны, при преобразованиях E и C3, яс(ф) — 2, поэтому из (II 1.8.13) следует
Xй (Е10) = (1 + 2 cos 0°) • 2 = 6, %а (C3 | 0) = (1 + 2 cos 120°) ¦ 2 = 0.
Наконец, для преобразования Ov из (III.8.14) получим (tis (0) = 2)
Г (ov 10) = Г (S (0) 10) = (-1+2cos0°).2 = 2.
Объединяя эти результаты, выпишем характеры полного представления колебаний в точке L в табл. VI 1.2. Разлагая это приводимое представление по неприводимым представлениям табл. VII. 1, получим
Г = L1+L3+U2+L3. (3.13)
Экспериментальное исследование рассеяния нейтронов в германии показало, что неприводимым представлениям нормальных колебаний (3.13) соответствуют:
L1—LO—продольные оптические фононы, L3 — ТА— поперечные акустические фононы, . ..
L2—LA—продольные акустические фононы, L3-TO — поперечные оптические фононы.
Перейдем теперь к правилам отбора для матричного элемента M^, входящего в выражение (3.1). Рассматривая переход Y2-^L1, отметим, что матричный элемент для этого перехода содержит под знаком интеграла электронные функции преобразующиеся по неприводимым представлениям и L1, осциллятор-ные волновые функции нормальных колебаний кристалла и оператор % взаимодействия электрона с фононом. Интегрирование по осцилляторным функциям, которое может быть произведено независимо от интегрирования по координатам электрона, приводит к правилам отбора (111.10.25), (111.10.26), согласно которым возможны только переходы, при которых только один фонон испускается или поглощается.
