Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь =F Aoj9 —энергии фонона, соответствующие его поглощению или испусканию, Ea = Ec(kL) — Ej7(O) — ширина запрещенной зоны в Ge; є0 — Ea зависит от температуры и при 300°К равна E0 — — E0^ (0,80—0,66)эв = 0,14 эв. Для Mffi имеем, согласно (2.20),
Mffi= Аш(±) (epcv (k)) = (??^)1/2 (epcv.(k)), (3.7)
где pcv(k) равно (2.20а), а | A01 равно (2.12а); для разрешенных переходов epcv (k) « epcv (0) и не зависит от k.
Исследуя в гл. VIII взаимодействие электрона с колебаниями решетки, мы увидим, что квадрат матричного элемента для поглощения и испускания фонона (VIII.3.10), (VIII.3.10а) содержит множительNq и Nq +1, где Nq — функция Планка (II 1.11.10а):
^-* ' (3-8)
exP-Mr -1
При температурах выше дебаевской (k0T > Aco9)
AU)
Nq = Nq + !*-^-, (3.8a)
ч
при температурах T—>-0
Nq-* 0, JVt+ 1-+1, (3.86) 420
ОПТИКА- ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. VII
т. е. вероятность поглощения фонона стремится к нулю, HO вероятность испускания фонона остается конечной.
Мы можем положить в самом общем случае
I A^p = Ci" (Л*+ V1 =F V1). (3.9)
Здесь / — номер ветви колебаний; верхний знак относится к случаю поглощения, нижний—к испусканию фонона. Выражение (3.9) можно считать не зависящим от q. В самом деле, экспериментальные данные по колебательному спектру германия показывают, что энергия fuоч продольных акустических волн, взаимодействующих с электронами, меняется от нуля (для <7 = 0) до 2,75-10~а эв (для q TtikL)\ это составляет только 0,03 от величины еа = 0,7 эв, поэтому мы можем считать квадрат матричного элемента (3.9) и разность (3.6) не зависящими от q и положить, например, q = kL1).
Рассмотрим поглощение, обусловленное непрямыми разрешенными переходами, связанными с испусканием фононов /-й колебательной ветви.
Исходя из определения коэффициента поглощения света (2.22), получим
I «л- <°> I2^J <*Ч/+О X
' X^P3fe (^jw C.-U). «(«/-«,+ +
(3.10)
Здесь знак плюс учитывает аналогичные члены, связанные со взаимодействием с другими ветвями колебаний /, а также с процессами поглощения фононов. Следует, однако, иметь в виду, что, как мы покажем в конце этого параграфа, существуют определенные правила отбора для матричных элементов Mplн, так что не все фононы могут участвовать в непрямых переходах.
В (3.10) суммирование по начальному состоянию і и конечному f в (3.1) заменены интегрированием по ft и ft':
Jtfft2n^1 JZ1^d5- (ЗЛОа)
E-wJ*ft' =IW-2nj^h J/XX, (3.106)
при этом мы воспользовались выражениями (VI.3.19а) и (VI.2.22); здесь тэфф = N2J3 (ItiVnlY''.
1J На самом деле ситуация раз в десять более благоприятна, так как на-
до сравнить е0 не с Am (?/)—Йсо (0), а только с разбросом значений q при
переходе к точке L. $3]
МЕЖЗОННЫЕ НЕПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ
421
Ввиду того, что поглощение, связанное с непрямыми переходами (второе приближение теории возмущений!), гораздо слабее поглощения, связанного с прямыми переходами, выражение (3.10) интересует нас только вблизи края непрямого поглощения: Aco « eo. Так как е0 > е0, а нас интересуют Асо, только немного превосходящие га, то в (3.10) можно положить знаменатель
(Bm-Bi-Aco)2 = (е0 + е2 + Ey-Aco)2 » (E0-Aco)*. В результате (3.10) приобретает вид
дисп
анеп __ _
ра3 CD (е0 — ^tD)2
X У Bvвс 6 [вс + Bv +е0 + AcokL—AeoJdi^dec+..., (3.11)
где Bfcn — константа, соответствующая испусканию фонона j-й ветви колебаний, не зависящая от со, но зависящая от температуры. Используя в (3.11) для интегрирования по Bv б-функцию, получим для двойного интеграла1)
и
W
lc(b-lc)dlc = ^b\ (3.11а)
гДе , ,
Ь = П(о — ва—Tkoftz.. (3.116)
Учитывая не только процессы испускания, но и поглощения фононов и суммируя по разным ветвям колебаний /, получим, используя (3.11а), (3.116):
aSIS =-— (Йсо—eG—Acoft,)2 H--^-(Асо—ва + Acoft, )2.
раз ш(е0—m2 1 o(e0-tmd)2 1
(3.12)
Для запрещенных переходов epcv(k) = -^\epcv(k)]u^k, поэтому
квадрат матричного элемента Mffi содержит лишний множитель /г2; наличие этого множителя под знаком интеграла в (3.10) приводит к тому, что коэффициент поглощения света состоит из слагаемых, пропорциональных (Асо—є0 =f Acofti)3.
2. Экситонные состояния влияют на коэффициент поглощения света анеп не только при прямых, но и при непрямых переходах. Этот вопрос был исследован Р. Эллиоттом в упомянутой выше статье. Электронно-дырочное взаимодействие в случае непрямых переходов учитывается так же, как и при прямых, посредством весового множителя, дающего вероятность того, что
1J Бронштейн И. H., Семе нд я ев К. А.., с. 364. 422
ОПТИКА- ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. VII
электрон и дырка находятся в одной точке пространства (§ 2, п. 2). Мы ограничимся приведением полученных результатов.
Из (3.12) видно, что без учета экситонных состояний коэффициент поглощения для непрямых переходов состоит из суммы членов, пропорциональных (%а>—eG=F Aw9)2. Учет взаимодействия электрона и дырки в случае перехода их при поглощении фотона к несвязанному состоянию изменяет в членах, определяющих показатель степени 2 на 3/2. Если при непрямом переходе электрон и дырка образуют связанное (экси-тонное) состояние ниже уровня Єц, то поглощение тоже имеет непрерывный характер и описывается степенными членами с показателем 1/2. В то же время мы для прямых переходов в этом случае имеем ряд дискретных линий. Непрерывный характер поглощения для непрямых переходов связан в том случае с тем, что в процессе участвует фонон, позволяющий переходить в любую точку экситонной зоны.
