Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
1J Ргос. of the Internat. School of Physics «Enrico Fermi». Course 34.— New York: Acad. Press, 1966, p. 93. $3] МЕЖЗОННЫЕ НЕПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ
417
§ 3. Межзонные непрямые переходы
1. Для некоторых полупроводников (Ge, Si) энергетические зоны имеют вид, изображенный на рис. IV.28: самый глубокий минимум в зоне проводимости, расположен в точке, не совпадающей с положением максимума энергии в валентной зоне в точке О, при ft = 0. В германии минимумы L в зоне проводимости расположены на границе зоны Бриллюэна в направлении <111>, а в кремнии — на оси А в направлениях <100>. В дальнейшем, для определенности, мы будем иметь в виду германий.
Переход электрона из валентной зоны (вблизи О) в зону проводимости (вблизи L) за счет поглощения кванта света невозможен. В самом деле, если A1 и ft2— волновые векторы электрона в начальном и конечном состояниях, а х—волновой вектор фотона, то из закона сохранения волнового вектора (квазиимпульса) следует: ft2—Jfe1 — X да да ft2—k1 да 0, так как x<^fta, который порядка ft?; учитывая, что мало, мы видим, что закон сохранения волнового вектора выполняться не может. Если, однако, одновременно с поглощением фотона электрон поглотит (испустит) фонон с волновым вектором ^r =+ (A2—ki), то закон сохранения волнового вектора выполняется.
На рис. VI 1.1 представлены зоны германия и два канала imf и im'f перехода электрона из начального состояния і в валентной зоне (вблизи ft да 0) в конечное состояние f в зону проводимости (вблизи точки L). На пути imf электрон переходит из начального состояния і в промежуточное т, поглощая фотон (прямой межзонный переход, рассмотренный в предыдущем параграфе), а затем переходит из промежуточного состояния т в конечное состояние /, поглощая (испуская) фонон с волновым вектором <7 = ± (ft2—fti) да ± kL. На пути im'f электрон из валентной зоны с волновым вектором fta да kL поглощает фотон и переходит в зону проводимости в окрестность точки L, а затем другой электрон валентной зоны вблизи точки О с волновым вектором ft да 0 поглощает (испускает) фонон q= ± (A2—ftj, 418
ОПТИКА- ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. VII
переходя на место дырки в точке ftsa;ft?. Последний процесс можно представить себе происходящим с дыркой: дырка в зоне проводимости поглощает фотон и переходит из состояния / в/п' (это эквивалентно переходу электрона т'—> /), затем дырка поглощает фонон и переходит из состояния т' в і; оба перехода дырки эквивалентны переходу электрона из состояния і в /. Именно потому, что последний путь im'f можно рассматривать и как переход электрона, и как переход дырки,— несущественно, занято ли состояние т' электроном или свободно.
Такие процессы с одновременным поглощением фотона и поглощением (испусканием) фонона должны считаться во втором приближении теории квантовых переходов (см. (П. 20.18)). Полное число таких переходов в единицу времени в единице объема через промежуточное состояние т. равно
Здесь индексами i, f и т обозначены начальное, конечное и промежуточное состояния, Mffi—матричный элемент электронно-фотонного взаимодействия для перехода і—*т, Mf^l"—матричный элемент электронно-фононного взаимодействия для перехода т—>/, %и>—энергия фотона, a fiaq — энергия фонона с волновым вектором q.
Из теории квантовых переходов известно, что закон сохранения энергии должен выполняться только для начального состояния і и конечного f. Закон сохранения волнового вектора имеет место и для промежуточных переходов.
Мы можем с достаточным приближением описывать электроны и дырки в германии и кремнии в центре бриллюэновской зоны, т.е. вблизи точки О (ft = 0), скалярными эффективными массами тс и mv\ тогда вблизи максимума энергии в валентной зоне для дырок
®»33 e^ (*) = (0) — ^ = Be (0) -Ivt (3.2)
и вблизи минимума энергии в зоне проводимости для электронов
Здесь Sv и є®—«кинетические» энергии дырок и электронов, пропорциональные k2.
Поверхности постоянной энергии электронов в германии вблизи L, т. е. абсолютных минимумов, как мы знаем из гл. IV, § 15, — эллипсоиды вращения с поперечной эффективной массой mt и продольной энергия электронов вблизи точки L
2я
+ (3-1)
Єт S ес (ft) = єс (0) + = гс (0) + є?.
(3.3) $3]
МЕЖЗОННЫЕ НЕПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ
419
равна
Bf^Be(V) = Bc (Ai) + % (-?^- + ¦!-) = (Ai) +1. (ЗА)
Здесь єс—«кинетическая» энергия электрона вблизи точки L, зависящая, в главных осях, от квадратов прямоугольных составляющих волнового вектора.
Суммирование по начальному состоянию І, т. е. интегрирование по k (или Ev), есть одновременно и суммирование по промежуточному состоянию т, так как при переходе і—*т волновой вектор k сохраняется.
Используя (3.2) — (3.4), получим для разностей энергий, входящих в (3.1):
Bm-Ei — А(0 = Ec (k) — Єр (k)—А(0 = E0 + 8° + E0-Aco. (3.5)
Здесь Aco— энергия фотона и є0 = єс(0) — Ev(O)—ширина запрещенной зоны в точке О (для прямого перехода); далее
Ef — E1--Aoj =f Aco9 =Ec(k) — Ev (k) — Arn =f Aw9 =
= єс(Аі) + єс — 8^(0) + 8^- Aoj=F Aoj9 =
= e0 + ec + 80 —Aco=f Aoj9 . (3-6)
