Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
2 „3/2 с-экс
^ г2 J sh Z
(2.34)
Далеко от края поглощения, когда Ь,а> — Єо^^ко т-е-выражение (2.34) переходит в (2.27). Вблизи края поглощения при Acо—>-е0, т. е. г—>-оо, получим из (2.34)
„кул "зап
= 4пе2 / 2ц ' fco - е„ ~ 3nm2ca> \ ?2 ^
)¦5/2 |?[«л.(0)]
„8/2
(2.35)
При поглощении фотона электрон и дырка могут перейти не только в состояние с непрерывным спектром, но и на дискретные уровни энергии связанных состояний экситона. Этим переходам будут соответствовать отдельные линии, расположенные непосредственно под краем поглощения. В упомянутой выше работе Эллиотт показал, что относительные интенсивности этих дискретных линий поглощения для разрешенных переходов пропорциональны I <Pvim (0) I а> где <Pvjm(r) — волновая функция связанного состояния экситона, a v, I, т—Главное, азимутальное и магнитное квантовые числа этого состояния.
Из выражения для (pv,m (г) видно1), что при г = Q отличны от нуля только s-состояния с 1 = т = 0 и в этом случае
IjPvoo(O)I2 = -^i-, (2.36)
где главное квантовое число v = 1, 2, 3, ав равен (2.316).
., а боровский радиус
ї) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика, § 36, (36, 14).$3] МЕЖЗОННЫЕ НЕПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ 415
Можно показать, что в этом случае коэффициент поглощения равен1)
= (2-37)
Здесь S = Y eG/2fi, cov—частота, соответствующая дискретному терму экситона (2.30). Для запрещенных переходов в связанные экситонные состояния относительная интенсивность дискретных линий поглощения пропорциональна \d<pvlm (г)/дг\ 2=0.
Можно показать, что для водородоподобного атома эта величина отлична от нуля только для /7-состояний (1 = 1). Представляя три нормированные функции р-состояния в виде X = xf (г), Y = yf(r) и Z = zf(r), получим
o(Pvimh дХ(0) а дУ (0) 2 dZJ?)
"т" л„ -г
дг
дх
дУ
дг
Зла в
(2.38)
где главное квантовое число V = 2, 3, ...
Коэффициент поглощения в этом случае равен2)
экс 16я e2A02 v2-I С / Ч /о оп\
а!ап=зTT —---У—б (се—Ov). (2.39
осп tn* ав®
Здесь 9—безразмерная константа порядка единицы, a cov—имеет тот же смысл, что и в формуле (2.37).
3. Вычисление матричного элемента Sivc (2.20) сопряжено со значительными трудностями, так как обычно нам неизвестны волновые функции электрона в валентной зоне и зоне проводимости. Однако во многих случаях уже достаточно определить, будет ли отличен от нуля интеграл
eMcv = ej ^ft (r)p%k (г) d>r, (2.40)
которому пропорционален ^матричный элемент Sivc = S112 (2.15).
Так как оператор Р = ~^r преобразуется при операциях
симметрии так же, как г, то к интегралу (2.40) легко применить правила отбора (гл. II, § 10). Можно также показать, что интеграл (2.40) выражается через дипольный момент системы. В самом деле, оператор
= (2.41)
где мы воспользовались выражением для производной от оператора по времени3); здесь Ж—гамильтониан системы.
*) Б и р Г. Л., Пикус Г. Е. Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках.— M., 1972, с. 547.
2) Бир Г. Л., Пикус Г. E., там же, с. 548.
3) Б лохинцев Д. И., § 31.416
ОПТИКА- ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. VII
Подставляя (2.41) в (2.40), получим Mcv {(r>?)„-(#r)„} <rclSKlv-SfCclrlv) =
= ^ (Svrcv-Scrcv) = <c I г I o>. (2.42)
Мы воспользовались тем, что
Miv = S ^tmv d*r = Wv d*r = ?vOlv (2.42a)
и аналогично Жci = S?ci-
Таким образом,
eMcv = const ¦ 5 ЦWe Ipoft dsr, (2.43)
где re — проекция радиуса-вектора на направление электрического поля е.
Мы видим, что Sivc пропорционален матричному элементу дипольного перехода (2.43).
Правила отбора и, в частности, для дипольного перехода в поле симметрии О, были рассмотрены в гл. II, § 10.
Рассмотрим правила отбора для дипольного перехода в центре бриллюэновской зоны (A = O) для германия и кремния. Пусть переходы происходят из состояния Г25 в валентной зоне (см. рис. IV.27). В поле кубической симметрии Oh х, у, г принадлежат неприводимому представлению Г15 (см. табл. III.2). Составляя по общему правилу (гл. II, § 10) прямое произведение Г16х T25 и разлагая его по неприводимым представлениям группы Oh, видим, что возможны только следующие переходы: Г25<-»Г15, Г2'6<-»Г26, Г2'6ч->Гц, Г25<->Г2; остальные переходы из Г25 запрещены.
Более сложная ситуация возникает в теллуриде висмута, где правила отбора зависят от поляризации электромагнитной волны. Группа волнового вектора для точки A = Ob Bi2Te3 — точечная группа D3d^=D3XCi', ее характеры даны в табл. VI 1.1. Легко установить, что координата г (параллельная оси кристалла с) преобразуется по представлению U1, а координаты х, у—по представлению L3. Пусть электрическое поле волны направлено по z, тогда переход L1^Lf1 разрешен (в самом деле, прямое произведение LlxL1 содержит неприводимое представление Lr1). Если электрическое поле перпендикулярно г, то легко видеть, что переход L1Ir^U1 запрещен, но разрешен переход L1^L3.
Если мы хотим учесть зависимость волновой функции от спина, необходимо рассматривать двойные группы и соответствующие им таблицы характеров. Процедура при этом усложняется, но в принципе остается такой же 1J.