Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Из (1.12а) и (1.15) следует, что мнимая часть диэлектрической проницаемости е2 (со) = (пс/а) ос. Подставляя сюда вместо ос значения (2.26) или (2.27), мы получим величину E2 (со) для разрешенных и запрещенных межзонных переходов, не содержащую показателя преломления п.
Опыт показывает, однако, что зависимость коэффициента поглощения света от частоты со для разрешенных и запрещенных 412
ОПТИКА- ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. VII
межзонных переходов носит, вообще говоря, более сложный характер, чем это следует из (2.26) или (2.27). Как было выяснено, на коэффициенте поглощения света может существенно сказываться кулоновское взаимодействие электрона и дырки, образующихся при поглощении фотона, т. е. свободные и связанные экситонные состояния. Учет влияния кулоновского взаимодействия электрона и дырки на поглощение света при прямых и непрямых межзонных переходах был рассмотрен Р. Эллиотом1).
3. В гл. V, § 3, п. 1 мы рассмотрели элементарную теорию экситонов большого радиуса.
Пусть экситон образовался в результате поглощения электроном в валентной зоне фотона. Закон сохранения волнового вектора при образовании экситона, ввиду малости волнового вектора фотона х, сводится к тому, что волновые векторы электрона kn и дырки kp равны по величине и противоположны по направлению, так что волновой вектор экситона K=kn-\-kpttО, поэтому кинетическая энергия образовавшегося экситона, как целого, (V.3.6) W = 0.
Мы видим, что полная энергия экситона (V.3.56)
с? = є0 + є, (2.28)
где мы обозначили разность ес (0) — E0(O) = E0, которая в случае прямых переходов может не совпадать с е0.
Уравнение Шредингера, описывающего относительное движение электрона и дырки, имеет вид (V.3.5a)
—% ^r Ф (г) Ф (г) = 8ф (г). (2.29)
Здесь (а—приведенная масса электрона и дырки, а статическая диэлектрическая постоянная е0 положена равной квадрату показателя преломления (е0 = п2); это уравнение совпадает с уравнением для водородоподобного атома с зарядом ядра е/м и массой электрона р.. Для связанных состояний экситона
<? = е0 + е =E0-^s, (2.30)
где главное квантовое число v = 1, 2,3.....а
еэкс = це4/2 Pni. (2.30а)
Наряду со связанными состояниями экситона можно рассмотреть несвязанные состояния, которым соответствуют в (2.29) положительные значения энергии е. Решения уравнения (2.29) для е > 0 известны из теории водородоподобного атома. В этом случае относительное состояние движения образовавшихся электрона и дырки
») Elliot R. J. — Phys. Rev., 1957, v. 108, p. 1384. $3] МЕЖЗОННЫЕ НЕПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ
413
характеризуется волновым вектором |к\ =--?-|/"2(ге,где(г—приведенная масса. При выводе (2.26) и (2.27) мы предполагали, что электрон и дырка после их образования двигаются независимо и каждый из них описывается плоской волной. На самом деле при учете корреляции их движения, коэффициент поглощения а увеличивается настолько, насколько увеличивается плотность вероятности состояния электрона на месте дырки (или наоборот — дырки на месте электрона) по сравнению с состоянием, описываемым плоской волной.
Можно показать1), что для несвязанных состояний отношение квадрата модуля волновой функции ср (г) в нуле к квадрату модуля плоской волны, описывающей свободное движение, равно
j ф (0) 12 = Jt? ехр Jt? (2 ЗП
I % Г sh :rt? ' \ ¦ )
где
и боровский радиус
Cia = fori21 це2. (2.316)
Представляется естественным (и это подтверждается детальным анализом Эллиотта), что для учета кулоновского взаимодействия электрона и дырки необходимо в подынтегральные выражения для араз и азап ввести в качестве весового множителя [ ср (0) | а/| ^ft |2 (2.31).
Таким образом, для стандартной зоны получим
« = ^l «.-(ЧI -1« [?-<*»-Ч>]
J aBk
Используя, как и в предыдущем случае, для интегрирования o-функцию, получим аналогично (2.26а)
0)1 2^c2s-Sr, (2.32)
nm2wc \ %2 J Ь[| 2 где _
г = я/т^-. (2.32а)
" Sco — е0
Вблизи края поглощения Йм—е0<^еэкс, т.е. влияние
кулоновского взаимодействия велико. В пределе, когда ш—>-є0, Т.е. 2—>-оо, коэффициент поглощения не стремится к нулю,
1J Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика, с. 646.
Следует учесть, что формула (136.11) записана в атомных единицах (O8=I).
Сраз : 414
ОПТИКА- ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. VII
как осраз (2.26), а, как следует из (2.32), стремится к величине
4яе8 /2ц\з/2
„кул "•раз
Ьэкс
(2.33)
Далеко от края поглощения, когда Aco—е0^>є8кс, кулоновское взаимодействие менее существенно. Однако даже при относительно больших значениях кинетической энергии электрона и дырки, например при Aco—є0 = я2еэкС да 10еэкс, т.е. z= 1, кулоновское взаимодействие между ними в 4,6 раза увеличивает коэффициент поглощения араз
сдах^з = 2zez/sh г = 2e/sh 1=4,6.
Эллиотт показал, что для поглощения, связанного с запрещенными переходами в состояние <р (г), весовой множитель под знаком интеграла для 0? равен |<?tp/dr|r=0. Расчет, аналогичный предыдущему, дает
а\
кул_
зап
2яеа
Зл/п2ао
у/2
дк
\epcv (O)J
