Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
pcv = — ih 1 j d3r Utk (г) sjUvfi (г) (2.20а)
B0
(множитель IjQ0 введен для удобства).
Число переходов V-+с в единицу времени в единице объема, для которых выполняется закон сохранения энергии (sc = Sv-\-fi(?>)
Это соответствует дипольному приближению при оптических переходах в атоме. $3] МЕЖЗОННЫЕ НЕПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ
409
и закон сохранения квазиимпульса или волнового вектора (Ai = ?а), равно (см. (П. 20.10а))
Tvc =:J j I Pve I2 б[(вс (k) -Ev (k) - Affl] (1|з d3k. (2.21)
Здесь [2/(2n)3]d3/j— число электронных состояний (с учетом спина) в области d3k\ интегрирование ведется по d3k с учетом закона сохранения энергии. Мы предполагаем, что зона 1 (валентная) плотностью заполнена электронами, а зона 2 (проводимости) целиком свободна; такое предположение хорошо выполняется, если U0T^Zq- Очевидно, что число поглощенных в 1 см3 в 1 сек фотонов равно числу переходов Wvc (2.21). Если в полупроводнике распространяется плоская световая волна, то плотность потока фотонов (число фотонов, проходящих сквозь 1 см2 в 1 сек) равна Nv = Ncfn, где N—число фотонов в 1 см3, а фазовая скорость v = c/n—скорость света в вакууме, деленная на показатель преломления.
Коэффициент поглощения, обусловленный прямыми межзонными переходами, равен1)
а = ^f = ? Ж J I epcv\*b[zc(k)-zv (k) - Affl) j. (2.22)
Мы воспользовались значением | A012 (2.12а) и положили волновой вектор фотона к = со/и = соп/с.
Пусть минимум в зоне проводимости и максимум в валентной зоне расположены в одной и той же точке зоны Бриллюэна k0. Такую зонную структуру имеют полупроводники PbTe, PbSe и PbS. Точки соответствующих экстремумов расположены вдоль осей <111> на границах зоны Бриллюэна (см. рис. IV.22, точки L).
Если поверхности постоянной энергии электрона и дырки вблизи своих экстремумов — эллипсоиды е параллельными осями, что также имеет место для указанных выше полупроводников, то
: е„(*) = е.(*.)-!' + + (2.23а,
Здесь оси 1, 2, 3 направлены вдоль главных осей эллипсоидов, тс1 и mol—компоненты тензоров обратных эффективных масс электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне. Аргумент б-функции в (2.22) равен
ее (ft)-в, (k)-U = %+ ^^ + fcM!] —(Йсо—є0),
1J Очевидно, что это определение совпадает с (1.14). 410
ОПТИКА- ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. VII
где
во = ес(*о) —(2.24а) а приведенные компоненты тензора обратных эффективных масс
- = — + —. (2.246)
N mci mvi 4 '
При значениях А, близких к A0,
epcv{k) = epcv{ka)+[Ykepcv{k)]k=k{k-ka). (2.25)
Если ерС1!{]г0)Ф0, переход называется разрешенным. Ограничиваясь в этом случае в (2.25) первым членом, получим из (2.22), (2.24) и (2.25)
aPa3 = T тЧпи Si I epcv ' 2 Х
х J б {f (їфі + fc^!+fcM!) _ fa _ Єо)} dkl dK dh,
где 2—сумма значений | epcv (A0) |2 для всех точек, соответствие
вующих рассматриваемым экстремумам в зоне Бриллюэна.
Переходя к переменным интегрирования /г,' = (/г,-—kui)jV\^i> получим
aP- = TEI eP™ ^ 12 ^iwTx
X Jfi Ji-A2Zj'2-г0)\Ank'*dk',
где мы положили dk[ dkl dk'3 = Anktt dk'. Вводя переменную интегрирования
/2 и используя б-функцию, получим
«раз = ? I ер„ (A0) 12 A (Aco-B0)1/2. (2.26) *0
Очевидно, что для AfO < е0, т. е. ниже порога поглощения ccpa3 равен нулю.
В дальнейшем (§ 4) мы увидим, что араз определяется вещественной частью удельной электропроводности а, которая в кубических кристаллах изотропна, поэтому 21 ^pcv (A0) |2 должна
быть изотропна; в этом можно было бы убедиться прямым расчетом, учитывая взаимную ориентацию осей <111>, вдоль которых направлены A0. Однако нетрудно видеть, что изотропный инвариант в этом случае должен равняться
?1 ерCV (*,) 12 -4 • (2.26а)
ft. $3]
МЕЖЗОННЫЕ НЕПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ
411
В случае стандартной зоны в точке Ar0 = O (2.26) приобретает
вид
^ = , (2-266)
где M- = IA1 = Il2 = Il3 И (1/^) = (1/^) + (1/^) и E0 = Ec(O)-Ell(O). Для того чтобы не усложнять изложения, рассмотрим для запрещенных переходов случай стандартной зоны с экстремумами в точке Ar0 = 0. Основные зависимости коэффициента поглощения и, в частности, его зависимость от частоты света получаются при этом такими же, как и в случае нестандартной зоны.
Для запрещенных переходов ер ^ (0) = 0, поэтому разложение \2.25) начинается со второго члена, квадрат модуля которого равен
І д \дк
д
[epcv(0)]k = -^[epcv(0)] I fc2cos2ft.
Здесь ft — угол между векторами -щ\ерси(0)] и Ar. Аргумент
б-функции в (2.22) в случае стандартной зоны равен (h2k2/2р,) — — (ha—E0).
Подставляя приведенные выше выражения в (2.22) и полагая в полярных координатах d3k = s'm&d$dyk2dk (полярная ось
совпадает с вектором [epcv (0)], получим
1 й2 I д г /ЛЧ1І2 W
X
j б —(Aco—е0) ] k2 COS2 ft sin ft dft d(p k2 dk.
Интегрирование по углам дает множитель 4я/3, а интегрирование по k производится совершенно аналогично предыдущему случаю. В результате для коэффициента получим
«- - ЯГ, (?Г ІЖ [V- (0)] I '^-M*. (2.27)
Сравнивая это выражение с (2.26), мы видим, что в случае разрешенных переходов араз <?Ь (A(o—B0)1/2, в то время как в случае запрещенных переходов а8ancv>(A(t>—E0)3/2; это связано с тем, что в последнем случае под знаком интеграла (2.22) появляется лишний множитель k2.
