Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
cd р (?>р\ С J
— I
8я'
где мы использовали (2.10); S = -^-IZf0I3 — плотность светового
T а м м И. E., §§ 94, 96.
2) Б л ох и н це в Д. И.» § 24. 406 ОПТИКА- ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. VII
потока (вектор Пойнтинга). Для мощного светового потока 5=1 вт/см* (десятикратный поток солнечного излучения на границе атмосферы), частоты света со = IO14 се/с-1, нормальной температуры T да 300°К (для которой средний импульс р да Hk да 10~20 г-см-сек'1), отношение (2.6) порядка Ю-4, поэтому в (2.5) можно пренебречь последним слагаемым.
Таким образом, в гамильтониане (2.4) возмущение, связанное с действием световой волны, равно
Ж' = —Ар = - —Al. (2.7)
тс r тс v '
Для плоской монохроматической волны вектор-потенциал
А (г, t) = A0 еехр і (кг—at), (2.8)
где A0 — амплитуда (вообще говоря, комплексная), е—единичный вектор, со и и—частота и волновой вектор электромагнитной волны.
Электрическое поле, как следует из (2.1), равно
*=-Т Tt = T А> (2-9)
так что вектор поляризации е направлен вдоль электрического поля. Амплитуда электрического поля
|?о| = ?И„1- (2-Ю)
Из (2.8) и (2.3) следует, что
div Л = М0ехр (xr—©f)-(ex) = 0, (2.11)
т. е. х перпендикулярно е или E (электромагнитные волны поперечны).
Для того чтобы выразить модуль амплитуды вектор-потенциала I А0 \ через энергию фотонов в 1 см3 Nfid) фи>—энергия фотона, N—их число в 1 см3), перейдем к вещественным значениям полей1), положив вектор-потенциал
А (г, t)=A0 ехр і (иг—&t)+A0 ехр [—і (иг—co^)]=2|^0|cos(xr—©і),
(2.12)
где мы, не ограничивая общности, считаем, что Л0 = Л^ = |Л0|. Вещественное значение напряженности электрического поля равно
Я = --Г^ = 2?|Л0|8Іп (xr-<Df).
Для немагнитных оптически изотропных сред, к которым относятся кубические кристаллы (Ge, Si, InSb и др.), средняя по
1) Известно, что непосредственное использование комплексных значений
полей в выражениях квадратичных относительно полей (например, плотности
энергии) недопустимо (см., например, И. Е. Тамм, стр. 473). $3] МЕЖЗОННЫЕ НЕПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ 407
времени плотность энергии в электромагнитной волне равна (п—показатель преломления)1)
^[»¦ЁЧ-W] - і гі№ = І • 4 A, \'зт'(*г-Ы) =
При этом мы воспользовались тем, что в плоской гармонической волне средняя электрическая энергия ti2E2 равна средней магнитной энергии H2 и что sin2 (иг—со/) = V2.
Приравнивая полученное выше выражение плотности энергии фотонов Nfiсо, получим
\ A,,] = }/" 2nNfia/K. (2.12а)
Здесь волновое число X = со/у, где фазовая скорость v = c/ti. Для энергии возмущения (2.7) имеем
= - ІгЛ<> exP Г"1' И-'xr^' (2-13)
где I Л, I равно (2.12а)2).
Состояние электрона в зоне проводимости и валентной зоне описывается блоховской волновой функцией
tfn*(r) = exp jen(k)t] -unk(r)expikr, (2.14)
где ti — номер зоны, k—приведенный волновой вектор электрона, En(k)—энергия электрона, ипк (г) — периодическая функция с периодами решетки.
Матричный элемент энергии возмущения (2.13), связанный с поглощением фотона, для перехода (/I1, A1) —> (п2, k2) равен
<п2, к2 W IU1, k,> = J ^Г^й^'ФяА =
= — ^ А° J ^r exP 'i и) г\• es/Unikl ехр ikxr\ X
X ехр J ОBnf {к2)—гПі (A1)-Aco)/ = 5»lt exp^- (e„a (k2)-En^k1)—Лез) /,
(2.15)
где ^j12—не зависящая от времени часть матричного элемента.
*) T a MM И. E., § 92.
2) Строго говоря, в (2.13) следовало бы для А (г, t) использовать двухчленное вещественное выражение (2.12), второе слагаемое которого, пропорциональное ехр ioat, учитывает испускание фотонов. Ввиду малого количества возбужденных при межзонном поглощении света электронов этим процессом можно пренебречь; это условие не всегда выполняется (лазеры). 408 ОПТИКА- ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. VII
Подынтегральное выражение равно
[---] ехр і (.. .)^[и'Піь,еуиПікі + і (ekj) Unikl Unlki] ехр і (ftj+x — k2)r.
(2.16)
Положим радиус-вектор г = am + r', где am — вектор узла решетки от. В силу периодичности функций ипь{г) интеграл (2.15) примет вид
2 ехр і (H1 + х—Ar2) ат С [... ] ехр і (Arl + х—Ar2) г' d3rr. (2.17)
т ^
Здесь [...] обозначено выражение в квадратной скобке в (2.16), а интегрирование по d3r' ведется по объему элементарной ячейки Q0. Из (П. 6.4) следует, что
2 ехр (Ik1 +х-Ar2) am = N8o,k1+y.-k1 =
т
= б0,й1+И_йг = + . (2.18)
Здесь S0iftl+Jt_ft2—символ Кронекера, N—число элементарных ячеек объема Q0 в основной области кристалла V=I см3; мы положили в (П. 6.4) вектор обратной решетки bs = 0, так как Jfel и Jfe2 лежат в первой зоне Бриллюэна, a и и k2.
(2.18) выражает закон сохранения волнового вектора (квазиимпульса) и в силу малости х сводится к равенствам
хдаО, Arl = Jfe2 = Jfe. (2.19)
Условие (2.19) позволяет положить в (2.17) экспоненту равной единице1); тогда интеграл от второго слагаемого в [...] равен НуЛЮ В СИЛу ОрТОГОНаЛЬНОСТИ фуНКЦИЙ UnlUl H UnJ2-
Таким образом, не зависящий от времени матричный элемент Sili в (2.15) равен
^c =A0^Jd3ru^ (г) еуuvk (г) = A0 ^-Jepcv), (2.20)
1S0
где мы заменили индексы Ti1 и п2 на v (валентная зона) и с (зона проводимости), положили k1 = ki = k и опустили штрих у переменной интегрирования г'; здесь матричный элемент перехода для импульса
