Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
n(r)={2nm"kf3/\xр ^+«»(В (9 7)
' 4л3&3 V k0T к '
p(r) = ^nm^f)'/t ехр (_?0±!4^±?ф(г)у (9.7а) 4л3л2 \ K0T j
Очевидно, что в общем случае, если концентрации электронов п (г) и дырок р (г) зависят от координат, то квазиуровни Ферми тоже зависят от координат.
В трехмерном случае суммарный полевой и диффузионный токи для электронов и дырок, согласно (7.7), равны
jn = ещпЕ + k0T(in grad п, (9.8)
jp = ep\LpE—k0T\ipgradp, (9.8а)
где мы воспользовались соотношением Эйнштейна (7.11). Здесь fi„ и {Ip — подвижности электронов и дырок. Определим grad п (г) и grad р (г) из (9.7) и (9.7а) и учтем, что grad®=—Е, тогда из (9.8) и (9.8а) получим
Jn = Wn gradC„, (9.9)
Jp = PlIp grad Ір. (9.9а)
Таким образом, градиент квазиуровня Ферми учитывает как ток, связанный с градиентом электростатического потенциала (полевой ток), так и ток, связанный с градиентом концентрации (диффузионный ток). ГЛАВА VII
ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
§ 1. Дисперсионные соотношения Крамерса — Кронига
1. В этом параграфе мы рассмотрим на основе классической электродинамики некоторые вопросы оптики изотропных сред. Для оптически изотропной среды (например, кубического кристалла) в статическом или медленно меняющемся электромагнитном поле вектор электрической индукции
D = zE = E+4nP, (1.1)
где E—напряженность среднего электрического поля в среде, P—вектор поляризации, є—диэлектрическая проницаемость (диэлектрическая постоянная).
Соотношение (1.1) основано на предположениях об изотропности среды, линейной связи между D и Е, локальности и синхронности, которые предполагают, что D (г, t) зависит от E (г, t) в той же точке пространства, в тот же момент времени. Если связь между D (г, t) и E (г, і) не имеет локального и синхронного характера,— говорят о пространственной и временной дисперсии. Мы покажем, как меняется связь между D и E в быстро меняющемся электромагнитном поле, когда нарушается последнее условие—синхронность. Исследуем, может ли при этом сохраняться условие локальности взаимодействия, т. е. может ли в быстро меняющемся электромагнитном поле пространственная периодичность быть много большей размеров атомной структуры решетки. Под быстро меняющимся электромагнитным полем мы будем понимать такое, частота которого ©>(0^—частоты установления поляризации среды (1 /а>рдахр—время установления поляризации). Наибольшая частота о>р, связанная с перераспределением электронов в атоме, по порядку величины равна сopxvja, где Va—скорость движения атомных электронов, а — размер атома. Наибольшая длина волны электромагнитного поля,
соответствующая со = Ojp, равна X = да • а а, так как скорость Va по крайней мере на два порядка меньше скорости света с. § Il ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ KPAMEPCA — КРОНИГА 399
Таким образом, и для быстрых электромагнитных полей частоты ш^сор длина волны 1K может оставаться большей атомных размеров, что позволяет пользоваться макроскопическими уравнениями электродинамики, т.е. локальным описанием явлений1).
Излагаемые ниже соображения относятся как к диэлектрикам, так и полупроводникам и металлам.
Предполагая, что связь между DaE линейна, как и в (1.1), но частота электромагнитного поля настолько велика, что значение D(t) определяется не только значением E(t) в тот же момент времени, но и предшествующими этому моменту времени значениями E(t') (—сполучим
t
D(t) = E(t) + J f(i — і') E (t')dt'. (1.2)
— со
Здесь f(t) — функция, определяемая только свойствами среды. Выделение в правой части (1.2) слагаемого E(t) представляется, как мы увидим ниже, удобным. То, что значение D (і) определяется значениями Е(і') в предшествующие моменты времени, согласуется с принципом причинности.
Интеграл в правой части (1.2) может быть записан в виде
со
J f(t-t') E(i') dt', (1.2а)
— OO
если сделать дополнительное предположение, что f(t — /') = 0 при f > t.
Перейдем к фурье-представлению функций D(t), E(t) и f(t):
OO
D{t)=2^ S D (co)e-'^d©, (1.3)
— оо 00
E(t) = ± S E(co)e-^dto, (1.3a)
— CO 00
/(O = ^ J /Иг»'^. (1.36)
— OO
Здесь предполагается, что для t >0 функция f{t)~ 0. Обратные преобразования имеют вид
OO
D (a)= J D (t) еш dt (1.4)
— OO
и аналогично для E (а) и /(©).
J) Отметим, что вблизи края экситонного поглощения и в случае а необходимо учитывать пространственную дисперсию. 400 ОПТИКА- ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. VII
Подставляя (1.3), (1.3а), (1.36) в (1.2), получим 00 ® — 5 D((0)e-la'd(0 = -^ $ E (со) е-шйа> +
— 00 — со
® 00 00
+ (2ЇЇР S dt' S da S й<й'і(<й)Е(<й')е-**«-*">е-Ь'*.
— OD —00 —00
Так как
ао
-L- 5 d/V (»-»')'' = б («о—со'),
— со
то
00
5 {Z> (со) — [1+/((0)] E (со)} е-i^dw = O-
— CD
Так как интеграл должен равняться нулю для всех значений t, то
Z? (со) = є (со) E (со), (1.5)
где
00
є (со) = 1 + / (со) = 1 + 5 / (t) е'»< dt. (1.5а)
о
Из (1.5) мы видим, что в случае быстро меняющегося электромагнитного поля связь между фурье-компонентами электрической индукции D, Напряженности поля E и диэлектрической проницаемостью є такая же, как для этих величин в стационарном случае (1.1).
