Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.
Скачать (прямая ссылка):
Одной из проблем при расчете размерности является выбор величин TV и At. Целесообразнее их подбирать не по отдельности, а с учетом размера временного окна NAt. При этом следует принимать во внимание существование фундаментальных ограничений на величину Dc7 определяемых формулой
Dmax = , г = -, (10.6)
lg(l/r) ешах
которая означает, что алгоритм расчета размерности не может дать значение больше, чем Draax при заданном числе точек TV. Иными словами, если г = 0.1 и TV = 1000, то Draax ^ 6; если TV = 100000, то Draax ^ 10. В результате возникают определенные сложности в случае, когда требуется отличить детерминированный процесс в системе с достаточно большим числом степеней свободы от истинно случайного процесса.
Знание размерности позволит нам реконструировать аттрактор методом (9.2), как было описано выше.
Метод задержки Такенса является наиболее известным, но не единственным способом задания вектора состояния. Альтернативой ему служит так называемый метод последовательного дифференцирования, имеющий определенные преимущества при решении задачи реконструкции. Идея данного метода следующая. Пусть имеется временной ряд a(iAt) = Cti7 і = 1,...,TV. Задание вектора состояния в фазовом пространстве производится следующим образом:
x(t) = (a(t),da(t)/dt,... 7 d*1'1 a(t)/df1'1) = (хъ х2, • • •, хп). (10.7) Пример реконструкции динамической системы
135
Поскольку известны значения а^ только в дискретные моменты времени і At, координаты Xj вектора х определяются путем численного дифференцирования исходного временного ряда по приближенным математическим формулам. Очевидно, что точность вычисления производных будет определяться малостью величины шага дискретизации At. Недостатком метода является повышенная чувствительность к шуму, что ограничивает его применимость для пространств вложения большой размерности (по крайней мере, без проведения предварительной процедуры фильтрации).
Реконструкция динамической системы
После восстановления фазового портрета аттрактора ДС любым из вышеперечисленных методов может быть решена задача реконструкции оператора эволюции. Наиболее простой способ для этого — создать п-мерное дискретное отображение
............... (10.8)
^n,г+1 = Pfi (^1,? 5 ,г? • • • 5 г)?
где Xj:i — координаты вектора состояния, рассмотренного в моменты времени і At, Fj — нелинейные функции.
В рамках алгоритма глобальной реконструкции для получения конкретного вида эволюционного оператора функции Fj, j = 1,..., п представляют в виде разложения по некоторому базису, ограничиваясь при этом конечным числом членов разложения. В простейшем случае задание Fj может осуществляться полиномами некоторой степени и:
и п п
Fj(xi)= yl c3,h,h,..,in 1eifc^"' ^10-9)
Zi5Z2V^n=O k=l k=l
где CjiIliI2i...^ — неизвестные коэффициенты, которые требуется найти. Для аппроксимации могут применяться полиномы Лежандра, либо может использоваться более сложная методика. Для задания Fj мы ограничимся формулой (9.9).
Система уравнений (9.8) допускает запись для любого номера і. Для нахождения коэффициентов (9.9) необходимо решить систему N линей- 136
Лекция 10. Реконструкция динамических систем
ных алгебраических уравнений
V п
xjA+l= Y, і = 1,..., N (10.10)
h,l2,...,ln= O
с неизвестными CjJ1 ,...,zn7 в которой N — число точек скалярного временного ряда, используемых для аппроксимации правых частей, v — степень полинома.
При заданных п иг/ число коэффициентов К полиномов (9.9) в общем случае может быть определено по формуле К = (п + v)\/{n\v\). Как правило, N К, поэтому для конкретизации эволюционного оператора система уравнений (9.10) решается методом наименьших квадратов. Получающаяся математическая модель является громоздкой, но при условии удачного выбора общего вида нелинейных функций ее решение воспроизводит сигнал с высокой степенью точности.
Аналогичным образом можно реконструировать не только дискретные отображения, но и математические модели в виде системы ОДУ 1-го порядка:
fi(xi,x2, • . ',xn), ......... (10.11)
Fn(xU X2, • • • 5 Xn).
Смысл функций в правых частях тот же, что и ранее. Так как на первом этапе алгоритма была осуществлена реконструкция фазовой траектории, это значит, что все Х{ известны; следовательно, можно определить производные от них. Поэтому (9.11) снова есть ни что иное, как система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов.
Если в качестве способа задания вектора состояния в фазовом пространстве используется метод последовательного дифференцирования, то математическую модель можно восстановить в более простом виде
dx і dx2 dxn /1П10ч
— =x2, —=X3— = /(X1, X2,..., xn) (10.12)
в силу того, что взаимосвязь между координатами однозначно задается равенством (9.7).
dx і ~dt
dxr ~dt Пример реконструкции динамической системы
137
Пример реконструкции динамической системы
Рассмотрим конкретный пример применения описанного алгоритма. С этой целью используем известную динамическую систему Ресслера, описывающую режим непериодических колебаний:
