Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.
Скачать (прямая ссылка):
X1 (t) = a(t), x2(t) = a(t + т), X3(t) = a(t + 2т),... (10.3)
Число координат состояния конечно и должно превышать размерность аттрактора d. Вновь возникает вопрос: как реально выбрать время задержки т? Каким способом определить число тг, которое задает размерность модельной системы уравнений?
К сожалению, ответов на поставленные вопросы на основе только теоретических результатов получить нельзя, требуется привлечение данных экспериментальных исследований. Попытаемся дать ответы на эти вопросы.
1. С точки зрения положений теории задержка т может быть произвольной. Однако совершенно ясно, что если т слишком мало, то г-я и (г + 1)-я координаты точек фазовой траектории практически неотличимы друг от друга. Реконструируемый аттрактор в этом случае располагается вблизи главной диагонали пространства вложения ("линии идентичности"). А этого допускать нельзя в силу определения: координаты состояния есть независимые переменные, однозначно определяющие состояние системы. С другой стороны, если время задержки очень велико, координаты оказываются некоррелированными, и реконструированный аттрактор не отражает истинной динамики. На основе экспериментов установлено, что оценка оптимального времени задержки может быть получена из расчетов автокорреляционной функции ф(го) = (a(t) • a(t + то)), которая для сложных непериодических процессов будет спадающей во времени Tq. Значение то, соответствующее времени достижения первого нуля функции ф(то), используется в экспериментальных исследованиях для оценки задержки т в (9.2) при введении новых координат состояния модельной системы.
2. Теперь нужно каким-то способом найти п, чтобы определить размерность реконструируемой системы. Из теории следует, что для определения п необходимо знать размерность аттрактора реальной динамической системы, которая может быть определена следующим образом. Выбрав произвольное (небольшое) значение размерности пространства вложения по, реконструируем аттрактор и определим его размерность Определение размерности вложения и реконструкция.
133
dp с помощью специальных алгоритмов. Затем повторим данную процедуру, увеличивая по до тех пор, пока величина размерности dp не перестанет претерпевать заданных изменений. Соответствующее значение dp для хаотических аттракторов будет нецелым. Далее определяется ближайшее сверху целое число, и находится d — размерность пространства, в которое "укладывается" наш аттрактор. С помощью формулы Манэ
определяется размерность пространства вложения, необходимая для реконструкции аттрактора (а значит, и размерность модельной динамической системы), и таким образом ответ на второй вопрос получен.
Из сказанного следует, что для получения динамического описания на основе одномерного временного ряда нужно решить следующие задачи: определить размерность пространства вложения, реконструировать аттрактор в новом модельном фазовом пространстве и, наконец, записать явный вид модельной системы. Рассмотрим теперь эти этапы более подробно.
Определение размерности вложения и реконструкция аттрактора
Предположим, что в результате эксперимента получены значения некоторой физической величины а, то есть набор а^ = a(iAt), і = 1,..., TV. Будем считать, что временной ряд сц порождается некоторой ДС с непрерывным или дискретным временем, представляя собой дискретизованную с шагом At одномерную проекцию фазовой траектории. Эта траектория принадлежит аттрактору системы, размерность которого равна d. Согласно Такенсу, задать вектор состояния можно по методу (9.2). Размерность пространства вложения п определяется на основании формулы Манэ (9.4), то есть требует предварительного вычисления величины d. На практике значение п, определяемое формулой (9.4), часто оказывается завышенным, и можно ограничиться пространством меньшей размерности (п < d).
Вначале необходимо определить размерность аттрактора d. Для ее оценки обычно вычисляют так называемую корреляционную размерность, используя формулу
п ^ 2d + 1
(10.4)
Dc = lim Iim
є ^oo N^oo
lgC(e,iV) Ige
(10.5) 134
Лекция 10. Реконструкция динамических систем
где C(e,N) = TV-2 ^(е— I Xi -Xj I) — корреляционный интеграл, б — размер ячейки разбиения фазового пространства, TV — число точек, используемых для оценки размерности, V — функция Хевисайда, Xi = X(іAt). Для определения Dc строят зависимость Ig С(е, TV) от Ig б и ищут на ней линейный участок, наклон которого и определяет искомое значение размерности. Кроме того, иногда анализируют зависимость Dc(n) и увеличивают п до тех пор, пока Dc не достигнет насыщения.
Известно, что при вычислении Dc существуют ограничения на величину е. Если б приближается к размерам аттрактора Craax, то линейная зависимость lg С(е, TV) от Ig е пропадает, что объясняется влиянием границ аттрактора, где число соседей у каждой точки обычно меньше, чем в "середине". В пределе, если б = етах, то Ig C(e,N) = 1. С другой стороны, при уменьшении значения б существует некоторое 6mfn, такое, что для б < еШіП структура аттрактора остается неразрешенной. Как следствие, вновь нарушается линейная зависимость lg C(e,N) от Ig б.
