Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.
Скачать (прямая ссылка):
99
Рациональным значениям числа вращения 0 = т : п отвечают более сложные (в сравнении с резонансом 1:1) резонансные циклы на торе. Области устойчивости этих циклов определяют соответствующие области синхронизации или области захвата частоты и фазы. С увеличением порядка резонансов (с ростом тип) области синхронизации становятся заметно уже, но сохраняют качественно форму области синхронизации при резонансе 1 : 1 (см. рис. 7.2). Если произвести расчеты зависимости си — cj1 от расстройки А в диапазоне 0 ^ |А| ^ 1, используя исходные уравнения (6.5), то мы получим график с бесконечным числом "полочек" типа рис. 7.3, ширина которых уменьшается с ростом тип. Этот график имеет фрактальную структуру и носит название "дьявольской лестницы".
Рассмотренный выше случай динамики генератора Ван дер Поля при внешнем гармоническом воздействии отвечает случаю так называемой внешней или вынужденной синхронизации. При внешней синхронизации воздействие на генератор является однонаправленным, обратная реакция генератора на источник внешней силы отсутствует. На практике реализуется и более общий случай — взаимодействие двух автоколебательных систем с различными собственными частотами cj1 и UJ2. Данное взаимодействие характеризуется тем, что колебания двух генераторов оказывают влияние друг на друга, а связь между ними осуществляется в обоих направлениях. Исследования показали, что качественного различия между этими случаями нет: эффект синхронизации наблюдается и при взаимной связи между двумя генераторами. Отличие может состоять лишь в том, что частота синхронных колебаний может быть CJ1, сJ2 или не совпадать с ними, занимая промежуточное значение cj1 < cjp < cj2. Эффект синхронизации двух взаимодействующих генераторов называют взаимной синхронизацией.
Совокупность рассмотренных динамических явлений в неавтономном и связанных генераторах позволяет сформулировать критерии и основные свойства нелинейного явления, называемого синхронизацией. Основным признаком как внешней, так и взаимной синхронизации является установление режима колебаний с постоянным и рациональным значением числа вращения Пуанкаре 0 = т : п, которое сохраняется в некоторой конечной области значений параметров системы, называемой областью синхронизации. Область синхронизации характеризуется эффектом захвата частоты и фазы колебаний. Захват частоты означает рациональное отношение двух исходно независимых частот cj1 : cj2 = т : п всюду в области синхронизации. Захвату фаз отвечает 100
Лекция 7. Синхронизация колебаний
постоянство разности фаз колебаний взаимодействующих генераторов в области синхронизации (ф = 0, ^st = const).
С физической точки зрения эффект синхронизации состоит в том, что два характерных собственных временных масштаба взаимодействующих колебательных систем, которые в отсутствие связи являлись независимыми, при взаимодействии оказываются целочисленно кратными или рационально связанными. При этом важно, что эта кратность оказывается фиксированной в некоторой конечной области значений параметров системы, называемой областью синхронизации.
Синхронизация генератора Ван дер Поля в присутствии шума. Эффективная синхронизация
Выше мы рассмотрели задачу синхронизации генератора гармонической внешней силой в динамическом описании, не учитывающем воздействие случайных возмущений. В реальных системах всегда присутствует шум в виде естественных флуктуаций, обусловленных наличием диссипации, а также в виде случайных воздействий внешней среды. Необходимо выяснить, какие принципиальные отличия в динамике генератора могут быть вызваны случайными возмущениями; в частности, каково влияние шумов на эффект синхронизации.
Задача о синхронизации генератора типа Ван дер Поля в присутствии шумов впервые была поставлена и решена в работах P. Jl. Страто-новича [17]. Им рассматривалась задача о воздействии шумов на генератор в предположении, что интенсивность шума много меньше квадрата амплитуды гармонического воздействия. Кроме того, предполагалось, что статистические характеристики флуктуаций близки к характеристикам белого шума. В частности, источники шума считались достаточно широкополосными и время корреляции шума много меньше времени установления стационарных значений амплитуды и фазы колебаний.
Синхронизация генератора Ван дер Поля с учетом шума описывается стохастическим уравнением
х-е(\- х2)х + CUqX = a cos(cJit + фо) + V2D?(t), (7.10)
в котором в сравнении с (7.5) добавлена случайная сила — источник белого шума ?(?) интенсивности D. Из (7.10) P.JI. Стратоновичем были получены стохастические дифференциальные уравнения (СДУ) для Синхронизация сердечного ритма
101
мгновенной амплитуды и фазы колебаний
(1"^) - рsin<t> + y/2D?i(t)
(7.11)
где ?1,2(^) — некоррелированные источники шума, D — интенсивность шума. Наибольший интерес представляет второе уравнение системы (7.11). Если эффект синхронизации исследуется только с точки зрения режима захвата фазы (и частоты), без учета динамики амплитуды, в этом случае принято говорить о режиме фазовой синхронизации. Второе уравнение (7.11) характеризует передемпфированное броуновское движение разности фаз ф в одномерном наклоненном периодическом потенциале U (ф) = — А • ф — ^ sin ф. Величина расстройки А определяет наклон потенциала, а отношение /л/А — высоту потенциальных барьеров. В случае А < /л/А минимумы потенциала фк = arccos (А - А//і)-\-2тгк соответствуют синхронизации, так как мгновенная разность фаз остается постоянной во времени. Наличие шума приводит к диффузии разности фаз в потенциале и(ф): ф{ї) флуктуирует вблизи минимумов потенциала ф].с и более или менее часто совершает переходы из одной потенциальной ямы в другую, меняясь скачком на 2тт.
