Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.
Скачать (прямая ссылка):
В диссипативных нелинейных системах такое определение фазы использовать нельзя, так как колебания в них не могут быть строго гармоническими. Как же поступить в такой ситуации? Ответ зависит от того, какую динамическую систему и какой тип автоколебаний мы исследуем.
*В уравнении (6.2) безразмерная переменная нормирована на у/є, поэтому является постоянной и равной 2.
(7.4)
X — е(1 — х2)х + UJqX = a COs(uJit + фо).
(7.5) 96
Лекция 7. Синхронизация колебаний
Вернемся к системе (7.5). При малых 0<5<1иа = 0 уравнение (7.5) описывает автоколебания в генераторе томсоновского типа. В этом случае решение x(t) можно искать в виде
x(t) = A(t) cos [utf + ф(Ь)], x(t) = -(J1Ait) sin [utf + ф(Ь)\, (7.6)
где A(t) — медленно меняющаяся во времени амплитуда колебаний, ф(ї) — медленно меняющаяся во времени фаза колебаний, Lu1 — частота внешнего сигнала в (7.5). Иначе говоря, мы вводим в рассмотрение понятие мгновенной амплитуды A(t) и мгновенной фазы колебаний:
Ф(*) =Wi і + ф(і). (7.7)
Решение уравнений (7.5) будем искать в виде:
x(t) = A(t) cos Ф(?)• (7.8)
В этом случае зависящая от времени компонента фазы ф(і) = <&(t) — uj\t представляет собой мгновенную разность фаз между результирующим, близким к гармоническому, процессом x(t) и внешним гармоническим сигналом. Условие медленного изменения фазы ф{€) во времени означает, что ф(ї) <С (J1. Опуская процедуру несложных, но громоздких преобразований, описанную во многих учебниках, запишем явный вид уравнений первого приближения для мгновенной амплитуды A(t) и мгновенной фазы ф(ї)
• єА / A2 \ . ,
А = — ( 1 " ^H -Msmф,
</> = A-^cos0, (7.9)
где ? = a/2(j1 — параметр нелинейности системы (7.9), А = = (luq — (jf)/2(j1 = (Jq — (J1 — расстройка по частоте между собственной частотой автономного генератора и частотой внешнего сигнала в (7.5), 5 — параметр возбуждения генератора.
Уравнения (7.9) по смыслу представляют собой усредненные по времени уравнения, которые часто называются системой "укороченных уравнений". Неподвижной точке системы (7.9) (А = 0, ф = 0) будет отвечать периодическое решение исходной системы (7.5), а периодическому решению (7.9) — двухчастотное квазипериодическое решение уравнения (7.5). Синхронизация периодических колебаний...
97
Отметим, что укороченные уравнения получены в приближении медленно меняющихся амплитуды и фазы и, как показывают расчеты, могут описывать процесс x(t) в (7.5) при условии, что ц ^ 0.05.
Предположим, что система уравнений (7.9) имеет в качестве решения неподвижную точку (или состояние равновесия) A = 0, ф = 0, и она устойчива. Условие А = 0 означает постоянство во времени амплитуды колебаний, а условие ф = 0 означает, что Ф = сої (см. (7.7)), то есть частота вынужденных колебаний в системе (7.5) будет совпадать с частотой внешней силы. Если этот режим колебаний возможен и является устойчивым, то частота колебаний в неавтономном генераторе (7.5) изменится и окажется равной частоте внешней силы ио\. При этом амплитуда колебаний во времени меняться не будет. Генератор "подстроится" по частоте, и реализуется эффект вынужденной синхронизации.
Найти координаты неподвижной точки A0 (/і, А) и ф® (/і, А) можно аналитически, решая (7.9) при условии равенства нулю правых частей уравнений. Можно также аналитически исследовать устойчивость A0 и ф°. Расчеты показывают, что на плоскости параметров (/і, А) существует область их значений, в которой состояние равновесия устойчиво. Эта область представлена на рис. 7.2. На границах области (линии Ia) равновесие теряет устойчивость, из равновесия рождается предельный цикл (переход из области I в области II).
Как уже отмечалось, в полной системе (7.5) состоянию равновесия отвечает предельный цикл, а циклу — двумерный тор. Это означает, что в области I мы имеем устойчивые колебания с частотой со і, а вне ее — квазипериодические колебания с двумя независимыми частотами ио\ и uoq. Область I, в которой частота колебаний генератора uoq = иоі, называется областью синхронизации на основном тоне.
Эффект синхронизации иллюстрирует также зависимость разности частоты колебаний системы (7.5) и частоты внешнего воздействия от
Рис. 7.2. Область синхронизации, отвечающая устойчивости неподвижной точки системы (6.9). 98
Лекция 7. Синхронизация колебаний
Рис. 7.3. Зависимость разности средней частоты колебаний в системе (6.5) и частоты внешнего воздействия от величины параметра расстройки для различных значений интенсивности шума.
расстройки А (кривая 1 на рис. 7.3). Как видно из рисунка, в конечной области значений параметра расстройки частота собственных колебаний совпадает с частотой внешнего воздействия. Вне области синхронизации частота колебаний генератора отличается от частоты внешней силы и в системе реализуется режим двухчастотных квазипериодических колебаний. Интересным представляется следующий вопрос: что будет происходить при дальнейшем увеличении расстройки, то есть при дальнейшем увеличении частоты внешней силы в области квазипериодических колебаний? Для ответа на данный вопрос введем в рассмотрение так называемое число вращения Пуанкаре, как отношение частот О = си і/си. Здесь сої — частота внешней силы, а си - частота колебаний генератора. В рассмотренном выше случае синхронизации на основном тоне мы имеем UJ = UJi и число вращения равно единице. Этот случай отвечает резонансу 1 : 1 на двумерном торе. Как видно из рис. 7.3 (кривая 1), при выходе из области синхронизации uj ф cji, а их разность монотонно растет с увеличением UJi. Это означает, что число вращения также будет изменяться по величине, принимая последовательно то иррациональные, то рациональные значения. Синхронизация периодических колебаний...
