Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.
Скачать (прямая ссылка):
Детерминированность
Что же представляет собой явление детерминированного хаоса? Попытаемся ответить на этот вопрос. Вначале необходимо внести ясность в Хаос
39
понимание терминов детерминированность и хаос, а затем определить содержание термина детерминированный хаос. Во всех случаях, когда говорят о детерминированности, подразумевают однозначную взаимосвязь причины и следствия (см. Лекцию 1). В применении к эволюционным законам это означает, что если задано некоторое начальное состояние системы при t = to, то оно однозначно определяет состояние системы в любой момент времени t > to. Например, если тело движется равноускоренно, то его скорость определяется детерминированным законом:
v(t) = v(t0)+at. (3.1)
При задании начальной скорости v(to) мы однозначно определяем значение скорости V(t) в любой момент времени t > to-
В общем случае, зависимость будущего состояния x(t) от начального X(to) можно записать в виде: x(t) = F[x(to)], где F — детерминированный закон (или оператор), который осуществляет строго однозначное преобразование начального состояния х(to) в будущее состояние x(t) для любого t > to- Этот закон может представлять собой функцию, дифференциальное или интегральное уравнение, просто некоторое правило, заданное таблицей или графиком и т.д. Важно главное: закон F однозначно трансформирует начальное состояние (причину) в будущее состояние (следствие).
Хаос
Теперь внесем ясность в понятие хаос. Давайте проведем мысленный эксперимент с броуновской частицей. Поместим частицу в начальный момент t = to в раствор жидкости и с помощью микроскопа начнем фиксировать ее положение во времени, отмечая координаты частицы через равные интервалы времени At. Нетрудно убедиться, что под действием случайных толчков со стороны окружающих молекул частица будет совершать нерегулярные блуждания, которые характеризуются запутанной траекторией. Повторим эксперимент несколько раз подряд, осуществляя в пределах возможностей воспроизводство начальных условий опыта. Каковы будут результаты? Их, главным образом, два. Первый — каждый раз траектория движения частицы будет сложной, непериодической. Второй — любая попытка однозначного повторения опыта приведет к отрицательному результату. Каждый раз при повторении опыта с одинаковыми (в пределах наших возможностей) начальными 40
Лекция 3. Детерминированный хаос
условиями мы будем получать различные траектории движения частицы, которые даже близко не напоминают друг друга!
Классическое явление движения броуновской частицы дает нам четкие физические представления о хаосе как о непредсказуемом, случайном процессе. Таким образом, если мы говорим о хаосе, мы подразумеваем, что изменение во времени состояния системы является случайным (его нельзя однозначно предсказать) и невоспроизводимым (процесс нельзя повторить) [12].
Приведенные выше размышления приводят нас к убеждению, что понятия детерминизм и хаос есть прямопротивоположные по смыслу. Детерминизм ассоциируется с полной однозначной предсказуемостью и воспроизводимостью, хаос — с полной непредсказуемостью и невоспроизводимостью. Возникает закономерный вопрос, что понимается под термином детерминированный хаос, где объединены два противоположных по смыслу понятия? Ответить на этот вопрос не просто, но возможно. Попытаемся это сделать.
Устойчивость и неустойчивость
Нам понадобится рассмотреть понятие устойчивости (неустойчивости) движения системы. Начнем с простейшего, рассмотрев состояние покоя или равновесия системы. Поместим маленький шарик в нижнюю точку внутри полой сферы. Слегка толкнем его и пронаблюдаем за движением. После совершения нескольких затухающих колебаний шарик вновь займет положение на дне сферы. В этом случае положение равновесия устойчиво: малые возмущения исходного состояния затухают во времени. Если мы поместим шарик на вершину сферы (снаружи), то реакция на малое возмущение будет иной: при любом сколь-угодно малом отклонении шарика от состояния равновесия он скатывается с вершины. Это положение равновесия неустойчиво: малые возмущения исходного состояния нарастают во времени.
Физический смысл понятия устойчивость (неустойчивость), рассмотренный нами применительно к состоянию равновесия, сохраняется и в отношении любого другого режима. Режим функционирования динамической системы называют устойчивым, если малые возмущения в окрестности этого режима затухают во времени, стремясь к нулю. Если этого не происходит и малые отклонения от режима функционирования системы нарастают во времени, такой режим будет неустойчивым (см. Лекцию 2). Нелинейность
41
Нелинейность
Теперь обсудим другое важное свойство сложных систем — нелинейность. Пусть мы имеем дело с неустойчивым режимом. Слегка нарушив режим малым воздействием, мы поначалу будем фиксировать нарастание возмущения. Будет ли оно бесконечным? В реальной жизни — никогда! Отклонение будет нарастать до тех пор, пока не вступит в действие некий механизм нелинейного ограничения процесса нарастания возмущения. Что это такое? Ответим на этот вопрос с физической и математической точек зрения.
