Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Рассмотренная задача с точки зрения радиофизики есть часть общей проблемы синхронизации нелинейных колебаний при сильных взаимодействиях в диссипативных системах. Здесь проявляются эффекты, которые трудно или невозможно рассчитать аналитически и в понимании которых помогают численные и физические модельные эксперименты, описанные выше.
Перечислим основные нелинейные явленим, обнаруженные экспериментально в неавтономном генераторе с инерционной нелинейностью: эффект захвата частоты в области основного резонанса на субгармониках Д = = Pfofck (? = 1,2...), бифуркация удвоения эргодическою тора, накапливающийся по параметрам процесс рождения toj>ob и резонансных циклов в областях синхронизации с рациональным числом вращения Пуанкаре, возникновение стохастичности через удвоения синхронных циклов и разрушение ;юумсрных торов, которому предшествуют потеря гладкости и ре-зонансы, а также перемежасмосп. тина "цикл—хаос" и "хаос-хаос". Система (12 1), как и ожидалось, реализует практически псе типичные переходы к хаосу, являясь наиболее простой из подобного класса систем.
12.5. Бифуркационные механизмы рождения тор-хаоса при разрушении двухчастотных колебаний
Система (12.1) представляется весьма подходящей для детальных исследований проблемы разрушения доумериых торов и образования сто-хастичмости. Результаты описанных экспериментов, по сути дела, уже б достаточной степени подтверждают строгий результат [137] о механизмах разрушения двумерного тора. Тем не менее желательно провести более тонкие исследования с целью интерпретации качественных выводов на языке радиофизики, в частности, описав механизмы разрушения тора с образованием CAt1 в терминах спектров мощности колебаний [241,242].
232 Рис. 12.7. Критические явления в системе (12.1) в окрестности резонанса 1/3 (численный эксперимент)
С этой целью исследуем более подробно область синхронизации с числом вращения Пуанкаре 0 = 1/3 - (A-клюв на рис. 12.1а), представленную в увеличенном масштабе ні рис. 12.7. Проанализируем эволюцию режимов колебаний численно, двигаясь в указанных на рис. 12.7 стрелками направлениях А, В, В', С и D. Рассмотрим проекции стробоскопического отображения через период внешней силы на плоскость переменных X, у, спектры мощности фазового потока Sx (/) и спектры мощности соответствующего отображения Sx (/). Для расчета последних массив данных набирался путем запоминания последовательности точек пересечения с секущей плоскостью с последующим расчетом спектра Sx (/).
На рис. 12.8 представлена эволюция указанных характеристик при мягкой потере гладкости 1-тором, соответствующая движению по пути D рис. 12.7. Инвариантная кривая L, гладкая вблизи линии рождения тора I0, с удалением в трансверсальном к I0 направлении постепенно искажается, теряет гладкость и разрушается с переходом через линию . В окрестности разрушившегося тора рождается стохастическое притягивающее множество - тор-аттрактор СА\, образом которого является множество точек стробоскопического сечения при т =0,625. Разрушение инвариантной кривой L в отображении сопровождается обогащением спектра Sx (/) комбинационными частотами, растет их число, плавно увеличиваются амплитуды, и рождению аттрактора CAl соответствует появление сплошного пьедестала. Особенно наглядна и информативна картина эволюции спектров отображения Sx (/), отражающая изменения в низкочастотной части спектра с более высокой разрешающей способностью. Спектр отображения с физической точки зрения соответствует спектру огибающей временной реализации х(г), т.е. спектру нродетектированного сигнала.
Эволюция режимов колебаний, соответствующая движению по пути/! (рис. 12.7), качественно повторяет картину, изображенную нарис. 12.8.
233 1 f- У о ' т-0,250 -ZO Jljji^
а 0 -20 V1 і о * — 0 X "4U -0,5 -бо дб
/,-л. I/o I/i f jO "/і ~h V/VJL
Зс.дб
^,Аб
• •
л* • " гл
т » 0.625
- 1
1 .г
-20 -40
-60
V0
б/. Ab
P и с. 12.8. Эволюция отображений Пуанкаре и спектров мощности колебаний при потере гладкости двумерным тором Точки P1 (a). Di (б) и Pi (в) соответствуют указанным на рис. 12.7
Отличия есть в расположении спектральных линий на оси частот, которое задастся числом вращения ф п месте пересечения лиши нейтральности /о по пути .4.
Выход из области синхронизации н направлении, обозначенном на диаграмме (рис. 12.7) стрелкой Ь, сопровождается переходом к СА\ при слиянии седло-ухюв с их последующим исчезновением, когда тор в бифуркационной точке на линии Ii уже не гладкий. Этот механизм перс
234 хода возможен при условии, что бифуркационная линия негрубого го-моклинического касания расположена выше кривой движения по пути В, UO обосновывается ниже. Если выход из области синхронизации осуществить по направлению В' (рис. 12.7), т.е. в область ниже критической іинии /кР разрушения тора, то наблюдается переход к эргодическим биениям с дискретным спектром частот. Число и интенсивность комбинационных частот в спектре при этом определяется степенью удаленности от бифуркационной линии /0.
