Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка):
228грохож.'ч-нни точки бифуркации удвоения эргодичсского двумерного тора
40 38 36 34 32
У/Ш'У/'-, САг м///'//// тор '"P
4-Т0Р 'I* ^lt
'э
I-TDP
Цикл
0,1
0,2 Ofl K1B
36 34 32
1-тор
S U
ЦИКЛ
0.1
аг аз ^B е
Риг. 12.5. Экспериментальные бифуркационные дшираммы системы (12.1) для разных/,: 8 кГц (в). 11 кГц (в)
16. B.C. Ашщенкоі' и с. П.6. Развитие CA7 через потерю гладкости 4-тором. Численный эксперимент проведен для B0 = 0,3,р = 0,П 1, * 0,3
чем больше амплитуда воздействия. Каков же в действительности бифуркационный механизм рождения CAl?
Для ответа на этот вопрос рассмотрим результаты численного эксперимента, проведенного в сечении р = 0,111 для B0 = 03 На рис. 12.6 представлена эволюция одной из двух инвариантных кривых сечения Пуанкире 2-тора плоскостью х=0с ростом параметра т. Эргодический 2 тор (рис. 12.6в) с возрастанием т еще раз удваивается (рис. 12.65), при этом видно начало процесса искажения инвариантных кривых. Рис. 12.6* — це-
230почка удвоений прерывается, инвариантные кривые теряют гладкость, выше по параметру т > 1,06 двумерного тора уже не существует. Bero окрестности (рис. 12.6г) возникает стохастическое множество CAj -гор-сттрактор, эволюционирующий далее к развитому хаосу (рис. 12.60).
Расчет полного спектра ляпуновскнх показателей для перехода (рис. 12.6) показал, что ляпуновская размерность Dl пас торах (К = 1,2.4) равна 2, затем в области 1,06 < m < 1,10 быстро нарастает, оставаясь в интервале 1 < D1 < 3 и далее превосходит 3. Анализ спектров мощности S^ (f) свидетельствует также о двух стадиях в переходе к хаосу через двумерный гор. На первой стадии движения по параметру m за счет удвоений появляются гармоники половинной частоты /0/2 (2-тор), затем гармоники /о/4 (4-тор). Вторая стадия начинается постепенным развитием эффекта потери гладкости 4-тором с последующим его разрушением. В спектре мощности колебаний мягко возникают пички многочисленных комбинационных частот, однако до момента разрушения тора спектр остается дискретным, размерность Dl = 2, хотя сечение Пуанкаре выглядит сложным (рис. 12.6e).
Появление положительного ляпуновского показателя в спектре ЛХП сопровождается возникновением в спектре мощности сплошного пьедестала, который с ростом параметра m плавно увеличивается, о чем свидетельствует монотонный рост интегрального спектра 5/ = fS(f)df. Эти данные в совокупности свидетельствуют о мягком рождении СА\ при разрушении тора за счет потери им гладкости.
Исходная автономная система (7.38) демонстрирует переход к хаосу при изменении параметра m через последовательность бифуркаций удвоения периода и вблизи точки перехода приближенно моделируется одномерным отображением тина параболы (гл. 8). Совершенно естественна попытка построения теории универсальности, по аналогии с теорией Фейгенбаума, способной описать явления при периодическом возмущении системы с удвоениями. Так как существенным параметром задачи является один (для нашей системы это т), то с-чедует изучить влияние периодического изменения именно этого параметра, проанализировав простейшую дискретную модель — периодически возмущаемое одномерное отображение Фейгенбаума
хл+1 =a + ?cos(2irn«J> + ^)-xi, (12.2)
где а - параметр, качественно адекватный превышению над порогом генерации, В - амплитуда, ір - начальная фаза возмущения, ф - число вращения Пуанкаре. Синхронным циклам на торе в этой модели соответствуют рациональные значения ф, эргодическим биениям - иррациональные. Теоретическое и численное исследование системы (12.2) впервые проведено в [245] и, несмотря на существенное упрощение модели по сравнению с дифференциальной, подтвердило ряд основных эффектов, наблюдаемых экспериментально в системе (12.1). В частности, в модели (12.2) также установлено явление удвоения торов и обоснованно предполагается, что число бифуркаций удвоения возрастает, стремясь к бесконечности при уменьшении амплитуды воздействия до нуля.
Ограничения одномерного описания процессов эволюции инвариантных кривых с изменением параметров, к сожалению, исключают возможность 1Ь* 231анализа механизмов разрушения двумерного тора, который требует привлечения модельных отображений кольца или плоскости.
Бифуркационные явления, качественно аналогичные рассмотренным, имеют место и внутри областей синхронизации (в А- и Я-клювах, например) Резонансные циклы сложной структуры (рис. 12.3) на бифуркационных линиях /о теряют устойчивость с мягким рождением соответствующих торов, которые разрушаются при пересечении линий критических значений параметров Ijcp.
Видна закономерность в последовательности критических явлений. Синхронные циклы теряют устойчивость на линиях нейтральности /о-В бифуркационных точках коразмерности 2 на линиях /{,, где ф рационально, возникают клювы синхронизации, внутри которых более сложные резонансные циклы вновь теряют устойчивость с рождением двумерных торов. Периоды синхронных циклов при каяедой бифуркации подобного типа увеличиваются в q раз, где q — порядок резонанса, и в итоге рождаются периодические режимы с периодом, стремящимся в бесконечность. Каскад критических явлений сгущается по параметрам и представляет собой качественное обобщение закономерностей подобия Фейгенбаума на случай двупараметрических семейств.