Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
В интервале изменения параметра 1,09 < т < 1,10 хаотический аттрактор претерпел бифуркацию слияния 4-тактной ленты в 2-тактную. На рис. 10.9 в сечении Пуанкаре указаны точки Я\,2,л, отвечающие пересечениям с секущей соответствующих седловых циклов Г|, Г2 и Г4, потерявших устойчивость в результате бифуркации удвоения периода. Как видно из рис. 10.9а, точки 4-тактного цикла </4 включены в хаотическое множество, а точки - нет. В результате бифуркации слияния лент точки 2-тактного цикла q2 оказались включенными в аттрактор.
Как выяснилось, к внутренним бифуркациям слияния лент аттрактора приводят изменения в характере неустойчивых многообразий седловых циклов. Проанализируем пример бифуркации слияния 4-тактной ленты аттрактора в 2-тактную.
Седловой цикл Г2 имеет двумерные устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия. Они пересекают секущую Пуанкаре х = 0 по одномерным кривым, представляющим собой устойчивую и неустойчивую сепаратрисы седловой неподвижной точки q2. Названные сепаратрисы можно рассчитать на ЭВМ [205]. Результаты приведены на рис. 10.10. При m = 1,09 (рис. 10.10а) сепаратрисы не пересекаются, а при m = 1,10
Ряс. 10.9. Сечения Пуанкаре (слева) и спектры мощности (справа) при прохождении параметром точки бифуркации связности в системе (7.38): a - m = 1,09. б-т= 1,10; g -=0,3
I 3. B.C. Лнищенко
193 Рис. 10.10. Устойчивые и неустойчивые сспаратрисы седловых циклов системы (7.381 иг секущей плоскости .* - 0: а - т - 1.09, цикл 2Г0: б - т- 1.10, цикл 2Г0: в - т- 1,09. цикл T0
(рис. IOJOd) пересекаются с образованием гомоклинических точек*). До появления гомоклиники сепаратрисные поверхности седпового цикла Гг отделяют в фазовом пространстве системы (7.38) области, где существует поток фазовых траекторий. Рождение гомоклинической траектории приводит к перестройке структуры разбиения фазового пространства на траектории. В частности, реализуется бифуркация слияния лент хаотического аттрактора, обусловленная разрушением соответствующих сепаратрисных поверхностей. При этом к аттрактору "подключается" вновь образованная гомоклиническая структура, что ведет к росту положительного показателя спектра ЛХП, который увеличивается от значения X, = 0,016 (w = 1,09) до значения X2 = 0,026 (w = 1,10). Эффект подключения новой гомоклинической структуры качественно выражается в том, что после бифуркации одна из ветвей 2-тактной ленты аттрактора в сечении Пуанкаре повторяет ход неустойчивой сепаратрисы седло вой точки qj, (ср. рис. 10.Q и 10.10). Окрестность неустойчивого многообразия в результате гомоклинической бифуркации стала притягивающей.
Факту существования 4-тактной ленты аттрактора при m - 1.09 отвечает наличие гомоклинической траектории у седпоного цикла Г4. Отсутствие 1-тактной ленты (если наши рассуждения верны) должно быгь обусловлено отсутствие гомоклинической траектории у 1-тактного цикла T1. Расчеты это подтверждают. Как видно из рис. Ю.Юв, устойчивая и неустойчивая сепаратрисы точки </i при m = 1,10 еще не пересекаются. В то же время форма неустойчивой сепаратрисы 1-тактной точки ?, предсказывает вид сечения Пуанкаре, реализующегося в результате слияния 2-такт-
*>На рис. 10.10 даны результаты расчета начальных ветвей неустойчивых сепаратрис, приводящие к появлению первых гомоклинических гочек.
194 ной ленты в I-тактную. что также подтверждается экспериментально [205, 206].
Дня воссоздания более полной картины бифуркационных явлений, обусловленных гомоклиникой седловых циклов, естественно желание построить бифуркационную диаграмму системы (7.38) на плоскости параметров. Однако это чрезвычайно трудоемкий путь, так как расчетную процедуру непросто автоматизировать, и в любом случае она потребует больших затрат машинного времени. Выберем другой способ, основанный на следующих качественных соображениях. Как было установлено выше, динамика перехода к хаосу через серию бифуркаций удвоения периода в генераторе допускает приближенное описание с помощью одномерного квадратичного отображения. Более детально картина перехода моделируется двумерным отображением. Таким отображением, как показали эксперименты, может служить классическое диссипативное отображение Xe-нона [74,7].
Уравнения модели Хенона следующие:
Xnrl = 1 -ах* +.v„, vn+I =Ьхп, (10.2)
где параметры а и Ь в физическом смысле эквивалентны параметрам т и g генератора. Установлено, что дискретная модель Хенона в определенном смысле является аналогом дифференциальной системы (7.38), демонстрируя иа плоскости управляющих параметров а и b совокупность бифуркаций, качественно эквивалентных реализующимся в отображении Пуанкаре модели (7.38).
Бифуркационные линии потери устойчивости неподвижными точками краткости 1, 2,..., 6 для системы Хенона аналитически рассчитаны в [207]. Показано, что на некоторой линии /0 рождаются две неподвижные точки: </о (седповая) и г/| (устойчивая). В дальнейшем на линии Ii точка qt претерпевает бифуркацию удвоения (мягко рождается устойчивый 2-цикл q2)- Далее следует каскад удвоений, подчиняющийся универсальному закону Фейгенбаума.
