Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Чтобы окончательно убедиться в том, что типичные режимы колебаний в системах (7.38) н (10.1) топологически эквивалентны, обратимся к результатам численных и физических экспериментов. Ma рис. 10.6 представлены результаты интегрирования системы (7.38) в режиме ленточного аттрактора, иллюстрирующие развитую стохастичность первой зоны. Выбором значений праметров т = 1.17. g =0,3. у = 0,1 и при тех же начальных условиях х(0) = 3,5, .у(0) = 0, г(0) 3 1,0 в возмущенной системе (10.1) удается реализовать режим хаотических колебаний, практически не отличающийся от изображенного на рис. 10.6. Чисто внешнее сходство режимов движения подтверждается детальными расчетами [13]: спектры J1XI1. автокорреляция и фурье-спектры режимов количественно близки. Общий вид хаотического аттрактора рис. 10.6 представлен на рис. 10.7.
Эксперименты на радиофизическом генераторе уверенно позволяли наблюдать хаотические аттракторы первой и второй зон, а при специальном выборе направлений движения по плоскости управляющих параметров - плавный переход от ленточного аттрактора к аттрактору Шильникова. Их топологическая структура качественно соответствует данным
а O
Рис. 10.6. Двумерные проекции фазовой траектории (в) и временные зависимости У (т). х(т) (ff) хаотического аттрактора первой зоны в системе (7 38) (m = 1.5, * ¦ 0.2)
190 І'ис. 10.7. Общий вид ленточного аттрактора рис. 10.6 в "трехмерном" изображении
численных экспериментов. Д'ія иллюстрации сказанного на рис. 10.8 приведены проекции ленточного ат грактора на плоскости переменных х, у и X, г. сфотографированные с экрана осциллографа. Сравнение экспериментальных и расчетных траекторий с го мо клинической траекторией Гё и соответствующих се проекций на плоскости (рис. 10.1 о. л) не оставляет сомнений в оценке фундаментальной роли петли сепаратрисы седло-фокуса в структуре наблюдаемых аттракторов в расширенной ее окрестности.
Одной из наиболее вероятных причин дальнейшего изменения характера автоколебаний является наличие многообходных петель сеиаратрис Го и как следствие - более сложная структура притягивающих множеств в фазовом пространстве системы в их окрестности.
Как связать полученные результаты с выводами теории о закономерностях динамики сг.стем с негрубой го мо клини ческой кривой седло-фокуса? Численные эксперименты с системой Рёсслера и рядом других систем касались классической ситуации, когда петля седло-фокуса была опасной (o1 >0) 1125. 126]. С этим обстоятельством авторы указанных
191 Рис. 10.8. Проекции фазовой траектории ленточного аттрактора на плоскости переменных х.у (а) их,2 (б) (физический эксперимент, т- 1.5, х * 0,2)
работ естественным образом связывали появление винтового хаоса. То, что в указанных экспериментах странный аттрактор локально в окрестности разрушившейся петли не регистрировался, не вызывало серьезных вопросов: теорема Шильникова не гарантирует того, что гиперболическое подмножество вблизи петли будет притягивающим. В итоге, специальных исследований по изучению структуры и свойств непритягивающего гиперболического подмножества в окрестности опасной петли не проводилось. Не исключено, что анализ динамики систем при удалении по параметрам от линии существования петли потребует привлечения существенно нелокального подхода к проблеме. В этом направлении уже получены некоторые обнадеживающие результаты [13.127].
Безусловно ясно лишь то, что гомоклинические траектории типа сепа-ратрисных петель вне зависимости от знака седловой величины особой точки играют фундаментальную роль в механизмах образования квазиаттракторов. Конструктивных теоретических результатов, способных в более общих случаях описать динамические свойства систем с гомоклини-ческими траекториями типа петли седло-фокуса, можно ожидать, развивая классический подход Шильникова на случай нескольких параметров, т.е. исследуя бифуркационные ситуации коразмерности 2 и выше.
10.2. Роль гомоклинических траекторий седловых циклов в бифуркациях хаотических аттракторов
С превышением порога стсхасткчности дальнейшее увеличение надкри-тичности ведет, как уже указывалось, к внутренним бифуркациям хаотических аттракторов, в частности к каскаду объединения лент аттрактора с образованием развитой стохастичности. Это явление типично для систем с удвоениями периода и объясняется закономерностями гомоклинических бифуркаций седловых периодических движений.
Рассмотрим сечения Пуанкаре и спектры мощности колебаний в системе (7.38) при значениях параметров, указанных в подписи к рис. 10.9.
192 На рис. 10.9а сечение включает четыре отдельных несвязанных хаотических множества, на рис. 10.96 - только два. В соответствии с этим аттракторы первого типа назовем 4-тактными, второго — 2-тактными. С тактностью лент аттракторов однозначно связана структура распределения энергии по частотам (спектров мощности Sx(f ) колебаний). На рис. 10.9а спектр содержит резонансные линии на частотах л/0. и/о/2 и л/0/4, а на рис. 10.96 выбросы на частотах л/0/4 (л = 1, 3, 5,... ) размываются.
