Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
В соответствии с полученным разбиением пространства параметров системы проведем исследование режимов колебаний. Если двигаться по параметру т в сечениях g = const вверх, оставаясь ниже линии однообходной петли то фиксируется последовательность бифуркаций удвоения периода по отношению к основному семейству циклов. На линии /кр рождается аттрактор Фейгенбаума, который далее эволюционирует с уменьшением тактности ленты, кризисами и перемежаемостью. Динамика системы (10.1) топологически эквивалентна рассмотренной применительно к первой зоне хаоса в системе (7.38). Более того, вид фазовых портретов колебаний и распределение интенсивности по спектру практически не отличаются от полученных в экспериментах с невозмущенной системой. Изучение режимов хаотических колебаний в последней дало две зоны стохастичности на плоскости параметров т и g (рис. 8.5), но подробно анализировалась структура и свойства аттракторов лишь в первой (нижней) зоне. Делалось это сознательно, так как разобраться в механизмах возникновения стохастичности второй зоны без изучения роли гомоклинических траекторий не представлялось возможным.
Обсудим динамику системы (10.1) в окрестности разрушающейся петли сепаратрисы Го- При малом отклонении значений параметров от линии Iy вниз интегрирование с начальными условиями на неустойчивом цикле, рождающемся из петли, свидетельствовало о жестком переключении системы на режим двухтактной ленты аттрактора Фейгенбаума. В окрестности петли Го специфического притягивающего гиперболического множества траекторий не обнаруживалось, что свидетельствует в пользу локальной теоремы Шилышкова. Типичное одномерное отображение пос-
А • •
%
< » L»
у- ой
/77-1,1"1
о = 0,зп
-j_
У7
/-0,1 w =1,21 с/ = 0,30
Ч.
V-%
Рис. 10.3. Модельные отображения послсдования для квазиаттракторов системы (10.1). соответствующие окрестности петли г J в области значений параметров ниже линии IL (а) и выше се (б)
187 ледпчаїпія подобного аттрактора приведено на рис. 10.3а и имеет знакомый эид гладкой квадратичной параболы.
С увеличением значения параметра т (удаление от линии Ilr вверх) возникают аттракторы несколько отличной структуры. Вид самих притягивающих множеств усложняется, фазовые траектории становятся более нерегулярными. Помимо хаотической модуляции амплитуды регистрирую! ся случайные сбои фазы колебаний (случайный характер последовательности времен возврата траекторий в секущую плоскость). В модельных отображениях послсдования нарушается гладкость и появляются разрывы. Как правило, фиксируются более сильное перемешивание и рост .!япуновской размерности.
На рис. 10.3(7 представлено типичное модельное отображение аттрактора в области значений параметров выше линии Ilr Виден характерный разрыв в отображении, причем точки q, и qit принадлежащие локальной окрестности петли, в отличие от случая на рис. 10.3а, здесь включены в аттрактор. Это доказывает факт хаотического во времени возврата фазовой траектории в локальную окрестность разрушившейся петли сепаратрисы седло-фокуса. В окрестности петли изображающая точка замедляет скорость движения при подходе к состоянию равновесия (на петле скорость вблизи седла стремится к нулю), вследствие чего и появляется сбой в фазе колебательного процесса: затем следует относительно равномерное вращение (движение по спирали с модуляцией амплитуды), которое при новом подходе к особой точке вновь испытывает резкое замедление, и тд.
Если еще дальше двигаться по параметру т от линии рождения петли Iy, то в зависимости от начальных условий реализуется бесконечное мно-
8
Рис. 10.4. Двумерные проекции фазовой траектории (в) и временные зависимости j>(t).jс(т) (0) аттрактора Шильникова н системе (7.3К) Cm = 1 45.j? ¦= 0.3)
188 жество регулярных и страшых аттракторов, структуру и свойства которых во многом еще предстоит исследовать.
Описанная бифуркация аттракторов в окрестности разрушившейся петли седло-фокуса была отмечена в ряде численных работ и анализировалась как переход от хаоса спирального типа (ленточный аттрактор) к хаосу винтового типа (аттрактор со случайной модуляцией амплитуды и фазы колебаний или аттрактор Шильникова). Численные и физические эксперименты убедительно подтвердили, что при стремлении у к нулю, когда исчезает го мо клиническая траектория Го и система (10.1) переходит в (7.38), все описанные выше бифуркации и свойства аттракторов второй зоны сохраняются.
В качестве примера на рис. 10.4 и 10.S представлены проекции фазовой траектории, отрезки временных реализаций и обший вид аттрактора Шильникова в системе (7.38), полученные численно для значений параметров из второй зоны стохастичности. На фоне хаотической амплитудной модуляции видны нерегулярно следующие во времени сбои фазы,
189 вызванные замедлением в окрестности особой точки. Отметим, что аттрактор винтового тина в натурных экспериментах, когда невозможен анализ негрубых гомоклинических траекторий, легко можно принять за перемежаемость, так как движение на "спиральной" фазе колебаний по внешнему виду часто напоминает ламинарную фазу при касательной бифуркации (рис. 10.4).
