Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Анищенко В.С. -> "Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах" -> 80

Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.

Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах — М.: Наука, 1990. — 312 c.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): slojniekolebniya1990.pdfСкачать (прямая ссылка): slojniekolebaniya1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 132 >> Следующая


от= 1,16, * = 0,3-Kmin =0,13: от= 1,45. ? = 0,21 - Лті„ = 0,53 • 10"': от = 2.45, ? = 0,1 - Л,nin =0,28 • Ю"1; от = 2,8, g = 0,06-.Rmin= 0,46 !О"2.

Фазовая траектория в режиме развитой стохастичности хотя и не касается строго оси z, однако подходит к ней сколь угодно близко. При зтом отмечается нерегулярная во времени возвращаемость траектории в малую окрестность особой точки в нуле. Петли седло-фокуса нет, но ситуация весьма близкая!

Возникает естественная гипотеза: петля сепаратрисы седло-фокуса существует в некоторой возмущенной системе, порождая ее хаотическое поведение. Снятие возмущения приводит к исчезновению самой петли, но структура разбиения фазового пространства на траектории остается ввиду грубости системы. Чтобы подтвердить эти соображения, нужно определить вид слабо возмущенной системы, доказать наличие в ней петли сепаратрисы седло-фокуса, выяснить структуру аттракторов и изучить их эволюцию при снятии возмущения. Решение указанной задачи неоднозначно, но в сипу свойства грубости конкретный вид малого возмущения не должен иметь принципиального значения.

Добавим во второе уравнение исходной системы (7.38) постоянный положительный член у и рассмотрим возмущенную таким способом систему [13]:

X = тх +у-XZ, у =-X+ у, z = -gz+g/(х)х2. (10.1)

Особая точка потока (10.1) по-прежнему единственна, слегка смещена относительно начала координат и представляет собой седло-фокус. Ее координаты: Jt0 = у, у0 = у (у2 - от), z° = у2. Состояние равновесия в возмущенной системе (10.1) для т > 0 характеризуется двумерным неустойчивым и одномерным устойчивым многообразиями. Для нахождения петли Го в уравнениях системы произведем замену времени на обратное

184 її с начальными условиями на одномерном неустойчивом многообразии решим многократно задачу Коши для фиксированного ^ = 0,3 и различных т и у. Выбрав малое значение у = 0,1. найдем бифуркационную точку >>;" = 1,176.... в которой реализуется однообходная петля седло-фокуса Гі. Ірехмерное изображение двоякоасимптотической траектории Io и ее проекции на две плоскости представлены на рис. 10.1. Траектория Го нсгрубая, и для т > т* петля разрушается в сторону А, а для т< т* -в строну В в соответствии с обозначениями на рис. S.3.

Проведем численно цвупараметрический анализ бифуркационных явлений в системе (10.1), построив на плоскости параметров ши; основные бифуркационные линии коразмерности 1 для фиксированного значения > = 0,1. Бифуркационная диаграмма системы дана на рис. 10.2 и содержит .инию бифуркации Андронова - Хопфа I0о, линии удвоения периода I01 и кратности /02 для основного семейства циклов. Расположение указанных бифуркационных линий на плоскости параметров качественно не отличаются от соответствующей диаграммы системы (7.38), свидетельствуя о грубости последней в отношении малого возмущения потока. Отличия есть в отклонении линии бифуркации рождения цикла I00 от прямой т = - О, в некотором увеличении бифуркационных значений параметра т при удвоениях и расширении зоны удвоений по параметру g (ср. диаграмму на рис. 7.8). Относительное положение линии критических значений параметров /к р на диаграмме также сохранилось.

На диаграмме нанесена система бифуркационных линий, характеризующих КрИТИЧеСКИе ЯВЛеНИЯ В ОТНОШеНИИ СОСТОЯНИЯ раВНОВеСИЯ. JblHHH Iy отвечает условию существования в (10.1) двоякоасимптотической траектории Го; линия m ** 2 разграничивает области, где особая точка системы является неустойчивым седло-фокусом (ш < 2) и неустойчивым седлом (ш > 2); указаны также линии обращения в нуль седловых величин состояния равновесия О] и O2 (3.24). Расчеты свидетельствуют, что на бифуркационной линии 1\ седловая величина о і особой точки системы (10.1), записанной в соответствии с теоремой Шильникова в обратном времени, отлична от нуля и отрицательна. Петля является не опасной1. Следовательно, при ее разрушении в строну А, что соответствует пересечению линии Iy снизу вверх по параметру т, должен рождаться единственный устойчивый цикл. Расчеты это подтверждают.

Цикл рождается при очень малых отклонениях параметров от линии Iy в строну Айв узкой области значений параметров претерпевает далее бифуркации удвоения. В исходной системе (10.1) (в прямом времени) рождающийся из петли сепаратрисы цикл абсолютно неустойчив и эволюционирует по параметру в седловой удвоенного периода.

Рис. 10.2 включает еще одну бифуркационную линию Iy, отвечающую существованию более сложной двухобходной петли сепаратрисы седло-фокуса Го. На этой линии неустойчивое многообразие особой точки, прежде чем замкнуться, делает два оборота вблизи основной петли С подобными явлениями все более часто приходится сталкиваться при решении конкретных задач [125-127]. Бифуркационная линия /2 берег начало в бифуркационной точке Q коразмерности 2 и направлена в область, где особая точка системы является неустойчивым седло-фокусом. Численный анализ проблемы существования многообходных петель сепаратрис Го

185 H и с. 10.1. Петля сепаратрисы u-цло-фокуга в возмущенной сисіемо (10.1) (а) и ее проекции на выбранные плоскост и переменных (б. в) и критических явлений в их окрестности чрезвычайно затруднен, так как в узкой области значений параметров реализуется бесконечное множество бифуркаций, из которых основную неприятность представляют бифуркации рождения (гибели) циклов ввиду их жесткого характера. По-видимому. существует бесконечное множество петель Го. из которых рождается соответствующее множество многооборотных циклов, претерпевающих каскады различных бифуркаций.
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed