Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Процесс разрушения стохастичности с увеличением параметра диссипативной нелинейности можно наблюдать и исследовать в фиэи'юском эксперименте. В oliv нелинейности характеристики любого реального уси-іктс.тя степень влияния диссппатиниой нсліінойііости зависит от положения рабочей точки на характеристике, которое можно измеиять внешней регулировкой уровня постоянного смещения. Изменяя уровень смешения н специальным образом поддерживая постоянным коэффициент усиления основного усилителя генератора, в физическом эксперименте можно гстаяно варьировать степень влияния нелинейного участка характеристики 5(х). что соответствует изменению параметра d математической модели (7.28).
Эксперименты показали, что при уменьшении уровня отрицательного смешения (увели-іение степени влияния диссипативной нелинейности) наблюдает;я разрушение странного аттрактора. Вначале увеличивается тактность ленты аттрактора, затем фиксируется 8-тактный цикл, далее -последовательность бифуркаций 'Ополовинивания4 периода, завершаю' Ш9ЯСЯ переходом в режим 1-тактных колебаний. Экспериментальные результаты полностью аналогичны изображенным на рис. 8.2, если их рассматривать в напріБлеііии уменьшения параметра т [ 182].
Проведенные числснньк и экспериментальные исследования влияния диі:скпалівчой нелинейное ги на динамику конкретных систем с рахіич-ними бифуркационными механизмами рождения странного аттрактора свидетельствуют о том. что диссипативная нелинейность разрушает режим стохастичности. В модели Лоренца это приводит к переходу в стационарное состояние, в генераторе с инерционной нелинейностью - к устойчивым 1-тактным колебаниям. Бифуркационные механизмы разрушения стохастичности в рассмотренных моделях строго соответствуют тем, в результате которых сто хаотичность возникает, однако с ростом параметра диссипативной нелинейности указанные механизмы реализуются в обратном иорядке. ГЛАВА 10
МЕХАНИЗМЫ ОБРАЗОВАНИЯ, СТРУКТУРА И СВОЙСТВА КВАЗИАТТРАКТОРОВ И ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ АВТОНОМНОЙ МОДЕЛИ ГЕНЕРАТОРА
10.1. Динамика генератора в окрестности гомокли ни ческой траектории типа петли сепаратрисы седло-фокуса
Принципиально важную роль в понимании сложности динамических явлений в системах с квазигиперболическими свойствами играют, как уже отмечалось выше, гомоклинические траектории, возникающие в окрестности седловых периодических движений или седловых точек равновесия. Гомоклинические траектории (точки) как результат грубого пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий седловых циклов (устойчивых и неустойчивых сепаратрис седловых неподвижных точек) со времени открытия и изучения их А. Пуанкаре, Г. Биркгофом и С. Смейлом служат своего рода сигналом бедствия, предвещающим возможность сложного апериодического движения системы. Из существования гомоклинических траекторий при некоторых дополнительных предположениях строго следует наличие в их окрестности счетного множества устойчивых и неустойчивых периодических траекторий различных периодов, включая континуум траекторий, устойчивых но Пуассону.
Не будет большой ошибкой считать, что го мо клиническая траектория неизбежно порождает в своей окрестности но параметрам и фазовым координатам квазиаттракторы. Поэтому доказательство существования го-моклинических точек и траекторий в динамических системах является безусловно фундаментальным шагом в исследовании стохастичности и мо-ч.гт рассматриваться в качестве ее критерия. Строгое обоснование на уровне теоремы проблемы существования гомоклинических траекторий в динамических системах общего вида и тем самым доказательство наличия сметного числа циклов - задача, пока не решенная. В связи с этим в конкретных случаях необходимо прибегать к помощи численных экспериментов.
Многосторонний экспериментальный анализ механизмов возникновения и топологической структуры хаотических притягивающих множеств в модифицированном генераторе с инерционной нелинейностью обоснованно приводит к мысли о существовании в автономной динамической системе гомоклинической траектории тина петли сепаратрисы состояния
183 равновесия. Однако, как нетрудно показать, в системе (7.38) петля сепаратрисы ссдііо-фокуса з начале координат не реализуется!
Действительно, особая точка системы характеризуется двумерным неустойчивым и одномерным устойчивым многообразиями. Заменим время в (7.38) на обратное и зададим начальные условия Jt(O) =^(O) = 0,г(0) > > 0 на одномерном неустойчивом многообразии. Интегрирование системы подтвердит уход траектории на бесконечность вдоль оси г. Из уравнений (7.38) следует, что г(т) = г(0)ехр(?г). Траектория при т 00 в особую точку не возвращается!
Проведем другой эксперимент. Будем интегрировать систему (7.38) в прямом времени с начальными условиями на ленточном аттракторе и двигаться по плоскости параметров в область наиболее развитой стохастичности, уменьшая параметр g и увеличивая m (рис. 7.8). При интегрировании на больших временах обеспечим регистрацию величины Лт(„ -наименьшего расстояния фазовой точки от одномерного устойчивого многообразия системы (оси переменной г). Результаты расчетов следующие:
