Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Линия I3 - бифуркационная линия исчезновения неустойчивого цикла, когда в системе остается только аттрактор Лоренца. Эта линия рассчитывалась путем линеаризации векторного поля ь точке равновесия O1:
х-V= U>(r- l)+d(r- I)3]"2, z=-r- j. (9.7)
и нахождения условий, при которых характеристический полином векового уравнения
3d\r- I)5 +9(0+ 1)</2(г- I)4 + d(\ - a + 4b)lr- I)3 +
+ 3(о f 1)(о + 2b + l)d(r- U2 +
+ ?(1 +a + b)(r - Г)+ (а + !)() + о + Ь)Ь = 0 (9.8)
имеет дза чисто мнимььх корня.
Алгебраическое уравнение (9.8) при фиксированных cab задает ио-комую зависимость г(J), т.е. бифуркационную линию I3, которая определяет границу области устойчивости на плоскости параметров. Поведение системы на границе области устойчивости требует учета влияния нелинейных членов уравнений (9.5), вычисления и определения знака лянунов-ских величин.
Расчет С] для системы (9.5) показал, что на границе области устойчивости (на линии I3) первая ляпуновская величина положительна, что доказывает сохранение субкритического характера бифуркации Андронова -Х'">пфэ, установленного для классической модели (7.8) в [204].
Субкритический характер бифуркации еще не доказывает рождения хаоса. хотя грубость системы но отношению к введению в уравнения (7.8) нелинейного диссипативного слагаемого дает основания предполагать наличие странного аттрактора внутри области значений параметров, ограничиваемой бифуркационной линией I3 (рис. 9.10). Абсолютным критерием стохастичности служит наличие положительного показателя в спектре ЛХП системы и, как следствие, дробная размерность притягивающего множества. С целью определения размерности аттрактора рассчитывался полный спектр ЛХП системы (9.5) вдоль прямых на плоскости параметров г = 40 и d = 2 • IO"4. Внутри области, ограниченной бифуркационной линией I3, тип спектра ЛХП соответствует странному аттрактору с ляпу-новской размерностью Dl = 2,065 ±5 • IO"3 и положительным Ляпунов-ским показателем 0,98 < Xt < 1,06. В точке г = 40, d = 2 • IO"4 спектр ЛХП р;івен: +1,032: 0,000; -15,491, что соответствует размерности Dl = 2,0666.
Выход из области стохастичности (переход через линию I3) сопровождается бифуркацией в спектре ЛХП, который состоит теперь из трех от-рицательных показателей. Это обусловлено сменой характера устойчивости стационаров и вне бифуркационной линии I3 траектории системы при-
180 тягинаются к одному из них, Ox или Ог. Ifa рис. У.10 гочки с тчсжитель-ной метрической энтропией отмечены символом "+" (Xi > 0), символом "-¦" помечены точки, соответствующие устойчивым стационарам.
Расположение и характер бифуркационных линий на рнс. 9.10 наглядно свидетельствует о том, что с ростом параметра диссигитивнои нелинейности J область существования аттрактора Лоренца в гцюсгрпнствс параметров системы постепенно уменьшается, и в итоге стохастичность исчезает, уступив место регулярному аттрактору, которым является положение устойчивого равновесия. Отметим, что аттрактор Лоренца разрушается при движении по параметру d в результате серии характерных бифуркаций, реализующихся в обратном порядке в сравнении с последовательностью критических явлений, приводящих к жесткому рождению аттрактора Лоренца в классической модели (7 8).
Рассмотрим влияние диссипативной нелинейности на бифурклции аттракторов в системе (7.28). Численные эксперименты проводились следующим образом. Для значений J = O,;= 0,3, т - 0,2 находился основной предельный цикл системы F0 периода 2я и осуществлялось слежедис за его мультипликаторами с ростом параметра d. Применялся очисапчын выше прием сначала однопараметрического, а затем двунірамеїрнческого анализа устойчивости семейства 1-тактных циклов P0.
Результаты расчетов представлены на рис. 4.J 1. Бифуркационная линия Iqj соответствует удвоению цикла F0 (мультипликатор цикла на линии Iqi рав<?н -1). линия lot - бифуркационная линия кратности. Ниут-ри области, ограниченной линией /01, существуют дна самосто*. ггльных семейства 2-тактных циклов Г( и ГІ, бифуркационные диаграммы которых качественно повторяют картину дім І-тактного цикла Бифуркационная картина в указанном смысле подобна той. которая подробно обсуждалась при цвунараметрическом анализе критических явлении в системе (7.38) на плоскости параметров т Hg.
Последовательность бифуркации удвоения для каждого семейства циклов приводит к рождению аттрактора в соответствии с законом Фейгенбаума. На рис. 9.11 нанесена линия критических значений параметров Ikр. выше которой рождается один нз аттракторов системы за с'^ет накопления бифуркаций удвоения основного семейства предельных циклов.
Если двигаться из области стохастичности на плоскости параметров по прямой '/' = const
Г и с. 9. II. Ьифуркаиионная диаграмма на плоскости параметров m и J системы (7.JK)
181 в сторону возрастания </ (рис. 9.11). то нослеловаїсльно нсрссекаюгся бифуркационные линии удвоений циклов периода 2* T0 дня к - «>...., .... /і. .... I. Имеет место последовательность бифуркаций 'Ynaio-чинивания" периода. При каждой бифуркации период цикла уменьшается вдвое, а завершается процесс установлением п системе регулярных автоколебаний периода T0- Учелпчение параметра диссипативной нелинейности d приводит к разрушению страшюго аттрактора аістемьі. при-•ісм последовательность критических явлений при этом строго соответствует обратной последовательности бифуркаций, в результате которых рождается странный аттрактор. Доказательством этому служат результаты вычисления скорости накопления бифуркаций удвоения периода по параметру г/, которые свидетельствуют о выполнении закона Фейгенбаума с константой Ь » 4,66920... [182].
