Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
170 устойчивых периодических траекторий. Критическая точка рождения [.ічіхастичности смещается в сторону меньших значений параметра за счет іашумления циклов периода 2к T0- начиная с некоторых к> к0.
Реакция системы на аддигианый внешний нормальный шум в режимах, близких по параметрам к- точкам касательных бифуркаций, оказывается принципиально нелинейной, зависящей oi интенсивности D и расстояния .о параметру от точки бифуркации рх = +1. Вблизи критической точки длительность почти периодических колебаний (ламинарной фазы) увеличи-зается с ростом интенсивности О. а величина X, уменьшается. Удаление .л критической точки приводит к противоположному результату: с ростом интенсивности шума D положительный показатель Х| возрастает, а время переключения на другой устойчивый режим уменьшается. Результаты расчетов но влиянию аддитивных флуктуации на динамику системы иллюстрирует рис. 4.5. Таким образом, воздействие внешних шумов на систему (7.38) вблизи точки касательной бифуркации проявляется в том, что характерные времена релаксации к новому устойчивому режиму сложным образом зависят от интенсивности флуктуаций и значений параметров. Однако внешние аддитивные шумы не индуцируют явления перемежающейся стохастичности!
Обратимся к рис. 9.46, где изображено сечение Пуанкаре для значений параметров рис. 9Aa, но при введении аддитивного шума интенсивности О = IO"3. Близкая к одномерной в отсутствие шумов лента аттрактора под действием флуктуаций "разбухает", становится принципиально двумерной. но изображающие точки практически с раиной вероятностью заполняют область вблизи невозмущенного аттрактора и не концентрируются в окрестности точки Q.
Вновь вернемся к циклу Г (рис. 9.3). Для значений параметра m ^ < =1,15231 режим устойчив. Увеличение параметра m >. m0 приводит !< жесткому переключению системы на CA (рис. 9.4а). Если медленно по сравнению с основным периодом колебаний генератора T0 ~ 2п изменять параметр m в малых пределах ±(0.005-0,010). го система генерирует либо периодические колебания, либо стохастические. При случайном характере изменений параметра колебания включают ламинарные фазы (движение на предельном цикле Г), нерегулярно во времени прерываемые турбулентными (движение на CA, когда значения параметра превышают критическое). Временные реализации процесса колебаний .х(т) не будут отличаться от типичных при перемежаемости. Но это не автоколебательный процесс, а модуляционный, индуцированный флуктуациями параметров системы! В отличие от систем типа Морса - Смейла, в которых технические шумы приводят к уширению спектральной линии генерируемого колебания, в системах со стохастическим поведением вблизи линий кратности мультшыикативные шумы могут индуцировать перемежающийся хаос.
Математическая модель, описывающая процесс модуляционной перемежаемости. индуцированной техническими флуктуациями параметров генератора, в общем виде может быть записана так:
ДГ = |/М° + Т?1 (Г »J.X + V - XZ, у = -X.
i'\g° Hh(T)UI(X)X1 - ;]. (9.3)
171 Рис. 9.5. Влияние luj-MOB на степень хаотичности движения: J-X1 (ш) для D ¦ О (кривая Л и D « IO-' (кривая 2). б - X1 (D) для m - 1,10050 (кривая 1). т -1.10100 (кривая Л: ю» » 1.10112
Г.25
О,? і
"•л. • • ї •. •
г-»" . • а
' . /. Jjjt' •
-40
P и с. 9.6. Окине Пуанкаре (а)и спектр мощности (б) при индунированпой муяь-типпикашниым ui>mom перемежаемое і и (//• - 1.1522..? » 0,3. D' 001./г = 0,0 И r.xs wj0 и Jr0 - значения параметров, отвечающие периодическому режиму колебаний в точке касательной бифуркации (точки на бифуркационных мидиях кратности), гj(t) - функции типа периодических возмущений со случайными амплитудой и фазой. Начальные условия решения задачи Коши должны принадлежать периодическому режиму колебаний в невоз-мушейной системе (9.3).
Проведем численный эксперимент с системой (9.3), задав Tjl(T) = » ((т)$іп(рт). Vi(T) = 0, считая ((г) белым шумом интенсивности D и положив р - 0,01. На рис. 9.6 представлены данные расчета сечения Пуанкаре и спектра мощности режима колебаний при указанных условиях. Видно, чго изображающие точки в сечении концентрируются в окрестности точки Q, свидетельствуя о наличии визвращаемости траекторий (ламинарные фазы колебаний). В ю же время в сечении Пуанкаре присутствуют изображающие точки в окрестности хаотической ленты (см. рис. 9.4а, при D = 0), что свидетельствует о "турбулентных" фазах движения. Спектр режима, дискретный в отсутствие шума, приобретает характерный вид, отражающий процесс модуляционной перемежаемости.
P и с. 9.7 Проекции фазовых потретов (слева) и спектры мощности колебаний (справа) при модуляционной перемежаемости (физический эксперимент): а - цикл г вблизи точки бифуркации +1 (рис. 9.3), б - перемежаемость, в - странный аттрактор
173 Теперь обратимся к физическому эксперименту. На рис. 9.7а показан устойчивый периодический режим вблизи точки бифуркации р, = +1. т 1.15. g = 0.3. На рис. 9.76 представлена проекция фазовой траектории на плоскость х, v в режиме перемежаемости, реализующемся, если установить промежуточное значение параметра 1,15 < т < 1,16. На рис. ЧГв ¦-странный аттрактор, на который система переключается с увеличением параметра т до значения 1,16. Как видно из сопоставления расчетных и экспериментальных данных, в физическом эксперименте наблюдается именно модvjuiционная перемежаемость с типичными закономерностями в характере спектров процесса.
