Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Результаты расчетов иллюстрирует рис. 9.2. Исходные линии спектра и/У устойчивого цикла Tt с удалением от точки С постепенно уширяются. В итоге появляются новые линии л/,, строго соответствующие неустойчивому циклу Гі: осуществляется переход к аттрактору, который возникает а результате последовательности удвоений в критической точке m* = = 1,085 ...
В окрестности точки F картина в целом аналогична, но переключение осуществляется с исчезающего цикла T1 на устойчивый цикл ГІ. Получается, что в точках касательных бифуркаций CuF происходят только жесткие переходы либо к хаосу, либо к устойчивому периодическому движению без эффекта перемежаемости. Это принципиальный результат, нуждающийся в строгом объяснении.
168 Как возникает истинная перемежаемость? В отображении Пуанкаре неустойчивому циклу Г" и устойчивому Г| соответствуют неподвижные точки типа седла и узла (или фокуса) соответственно. До их слияния неустойчивые сепаратрисы седла могут не пересекаться с устойчивыми. Перемежаемость реализуется, если моменту седло-узловой бифуркации предшествует образование гомоклиники в окрестности указанных точек. В момент слияния и исчезновения седло-узла гомоклиническая структура становится притягивающей и изображающая траектория в отображении случайным образом во времени возвращается в окрестность исчезающей устойчивой точки.
В динамической системе (7.38) указанный бифуркационный механизм не реализуется. Подтвердим это численными экспериментами. Вновь обратимся к рис. 8.6а и сосредоточим внимание на области значений параметра вблизи т =1,15, где существует окно устойчивости. В зависимости от начальных условий здесь возможны устойчивые периодические режимы различной структуры. Выберем 4-тактный цикл и обозначим его Г. В точке плоскости параметров т = 1.152, g = 03 цикл Г устойчив, его мультипликаторы равны Pi 3 0,3890, р2 * 0,0228. Проекция цикла Г на плоскость х,у изображена на рис. 9.3. В точке т - 1.15231, g = 0,3 мультипликатор р, обращается в +1. Эта точка идентична с точкой F рис. 9.1, и в ней цикл Г исчезает, сливаясь с неустойчивым.
Сместимся по параметру т в точку т - 1,155, произведем интегрирование системы (7.38) с начальными условиями на цикле Г, исключим длительный период установления Ty > IO+3 и для установившегося режима
P и с. 9.3. Четырехтактный устойчивый цикл системы (7.38) в за критической области значений параметров m ¦ 1,152. к - 0,3
Рис. 9.4. Сечения Пуанкаре при жестком переключении на режим странного аттрактора в результате бифуркации +1: а - флуктуации отсутствуют. б - интенсивность флуктуаций Da IOT1
ч \
ви.--^::------—
-у -0,6
0,25
0,20
• v . ! • • •
..." •• Г-.. . • V
0,25
0,5 -у 0,6
-0.5
! 0.20 построим сечение Пуанкаре на плоскости * ¦ 0. Результаты приведены на рис. 9.4 а и свидетельствуют о жестком переключении с цикла Г на странный аттрактор. Перемежаемости нет. о чем говорит взаиморасположение аттрактора и неподвижной точки цикла Г, обозначенной буквой Q. Точка Q изолирована, т.е. ее окрестность не включается в аттрактор. Если но результатам счета сечения (рис. 9.4а) построить одномерную функцию последования .>'„ + 4 s ?( Уп) > то график модельного отображения оказывается типичным для касательной бифуркации в локальной окрестности точки Q, однако нелокальные свойства отображения не обеспечивают воз-в решаемости траектории в окрестность точки Qy исключая тем самым перемежаемость!
Эффекты переключения с режима на режим, носящие характер катастрофы. проявляются при расчетах на ЭВМ с высокой степенью точности в интервалах зна<юний параметра Am » IO"3. В радиофизическом генераторе управляемое изменение параметра возбуждения т осуществимо с погрешностью 1%, т.е. на порядок грубее. Следовательно, детальное исследование эффектов переключения в натурном эксперименте заведомо исключается. Тем не менее в физическом эксперименте явления переключения, гистерезиса и перемежаемости уверенно наблюдаются. Как это объяснить?
Существует пэ крайней мере две причины возможного расхождения экспериментальных и расчетных данных. Первая - несоответствие математической модели реальному генератору при значениях параметров в за-критической области. Численные и физические эксперименты обоснованно отклоняют такое предположение, что будет проиллюстрировано всем последующим изложением. Вторая причина - воздействие естественных и технических флуктуаций на колебательные процессы в генераторе -является принципиальной и заслуживает внимания.
Влияние естественных флуктуаций моделируется соответствующей системой стохастических дифференциальных уравнений генератора [189]:
Jг = »»+ +
Уя-**Ь(г)- (9-0
z = -gz+gl(x)x2 +Ц3(г), где ?{(г) - нормально распределенный шум, удовлетворяющий условиям
D - интенсивность белого шума.
Исследуем колебательные процессы № системе при наличии аддитивного шума в предположении, что внешнее воздействие является малым возмущением исходных уравнений (''.38). Вычислим зависимость Xt(m) для g = 0,3, изменяя интенсивность шума D. Случаю O-O соответствует рис. 8.6. Рост интенсивности шумов приводит к последовательному исчезновению наименьших по параметру окон устойчивости миоготактных циклов, и для D а» IO'3 аттрактор системы становится как бы гиперболическим. т.е. в некоторой конечной области параметра Am не содержит
