Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Совокупность представленных экспериментальных данных позволяет сделать вывод о возможности приближенного описания перехода к хаосу в модифицированном генераторе с инерционной нелинейностью через последовательность бифуркаций удвоения с помощью одномерного отображения типа квадратичной параболы. Такое представление справедливо по крайней мере для значений 0,15 <g <035 и при малых превышениях параметром линии критических значений /кр (рис. 7.11). Г Jl А В А 9
ДИНАМИКА МОДИФИЦИРОВАННОГО ГЕНЕРАТОРА С ИНЕРЦИОННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ В РЕЖИМЕ АВТОНОМНЫХ КОЛЕБАНИЙ (продолжение)
9.1. Режимы колебаний в закригической области значений параметров. Гистерезис и переход к хаосу через перемежаемость, индуцированную флуктуациями
Вернемся к обсуждению результатов расчета старшего показателя спектра ЛХП X1 (т) (рис. 8.6а). С превышением порога зависимость Xt(m) включает дискретные области по параметру т. в которых положительный показатель обращается в нуль. Вначале X1 ¦ 0 в узких интервалах значений параметра. С ростом надкритичности ширина этих интервалов увеличивается, свидетельствуя о наличии устойчивых периодических режимов. которые можно наблюдать в эксперименте. Появление окон устойчивости за критической точкой обусловлено двумя причинами. Во-первых. здесь из сгущения траекторий в результате бифуркаций р ¦ +1 рождаются устойчивые и неустойчивые циклы различных семейств. Во-вторых, исходные циклы периодов 2Г0. которые в критической точке все седло-вые. с превышением порога обретают устойчивость через обратные бифуркации удвоения (мультипликатор входит в единичный круг через -1). Ширину областей существования устойчивых периодических режимов за критической точкой можно определить по зависимости мультипликатора соответствующего цикла от параметра, изображенной качественно на рис. 7.9, и. следовательно, по расположению линий кратности на диаграммах (рис. IA и 7.11).
Рассмотрим в качестве примера эволюцию 2-тактною цикла Г|, рождающегося из цикла Г0 в результате удвоения. Анализ проведем в сечении g - 0.3, изменяя параметр т. В бифуркационной точке т - 0.77 цикл T1 мягко рождается и далее устойчив.
На рис. 9.1 представлена рассчитанная на ЭВМ зависимость мультипликатора р, цикла Г, от параметра т. Кривая p,(w) неоднозначна и имеет вид нетли с особенностями в точках В. D. F. С и Е. где модуль мультипликатора равен единице. В точке В (тв = 1,02) цикл Г| претерпевает бифуркацию удвоения и далее до точки D (ти * 1,257) остается седло-вым. В точке D мультипликатор входит внутрь единичного круга через - 1. а цикл Г, вновь приобретает устойчивость. В точке F (mF 1.267) цикл Г(
166 ис'іезигг. CIHBMttCh C НСУСІ.ІЙ'ШВЬІМ ЦИКЛОМ Г J' Il |Ч'ЧУЛ ыато бифуркации ij, =+1. Появилось окно устойчивости цикла Г, с ширииой но параметру - "іjj ^ 0.01. Далее, в гі'чко Г (>пс * 1.101;. ссчи двигаться но параметр) т в сторону увеличении, рождается пара циклов: устойчивый I-I к неустойчивый Г|. Появляется вюрое окно устойчивости. KiK как цикл l"i в интервале по параметру - >пс =? 0,22 устойчив. Далее цикл Г| в точке E ImlT ^ 1.32) теряет УСТОЙЧИВОСТЬ через у.чвоение и с увеличением т возможен каскад бифуркаций удвоении Фсйгенбаума применительно к семейсіву циклов Fj *). Вели же рассчитать зависимость Pl(Hi) для цикла I j. то она качественно повторит петлю на рис. 9.1.
IIa границах окон устойчивости, где мультипликатор соответствуюше-іо устойчивого цикла обращается в «-1. наблюдаются жесткие смены режимов колебаний (катастрофы) и сложные гистерезисные явления. Панри-мер. иу Cib начальные условия соответствуют циклу Г, в области его устой-'іивосги между точками DnF (рис. 9.1). При движении вверх но in в точке F цикл исчезает и вероятным будет перескок изображающей точки на устойчивый цикл Г J. С уменьшением параметра т всюду Zio критической точки С существует устойчивый цикл Г і, а при его исчезновении за точкой С предсказать режим колебаний затруднительно. Возможна реализация одного из многотакгных циклов системы либо странного аттрактора, так как ниже точки С по параметру т устойчивых циклов периода ZT0 нет.
Исследуем влияние жлтких бифуркаций вблизи точек CkF более де-
на временах T0 ^ IO3 и вычислялись спектр мощности, автокорреляционная функция, функция распределения, полный спектр ЛХП и размерность аттрактора. Затем, при начальных условиях на цикле ГІ параметр m незначительно уменьшхпея и вновь производились указанные расчеты. Установлено следующее. При малом удалении от точки С (m = 1.1010 < тс) наблюдалась длительная ламинарная фаза колебаний, почти повторяющая движение на цикле Г і, однако в итоге система "переключалась" на режим странного аттрактора, который локализован в фазовом пространстве сис-
") Исследование бифуркации > двоения циклов Г| о различных сечениях но пара-млру g показало, «то. начиная с некоторых * < . реализуется каскад удвоений 4\'ПгснГ>аума; для g > g0 число усвоений конечно.
167
-50
Рис. 9.2. Спектры моишости колебаний при удалении но параметру от точки касательной бифуркации
темы так, что не содержит в себе окрестности неподвижной точки цикла Pj в отображении Пуанкаре. Длительность ламинарной фазы уменьшалась с удалением по параметру от точки С, однако явления перемежаемости, т.е. случайным образом повторяющегося возврата траектории в окрестность цикла ГІ. не фиксировалось. Нестационарный характер длительного во времени переходного процесса к хаосу вблизи точки С приводил к размытию спектральных линий исходного цикла Г і. и с удалением от точки касательной бифуркации возникал сплошной спектр аттрактора Фейгенбаума.
