Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Процесс обогащения спектра субгармониками по пути к хаосу через удвоения характеризуется масштабно инвариантными свойствами. Если
162 рассмоірсті. спектр 2-такіпо;о шікла. ю в окресшисти частчмы Ju он содержит две линии меньшей интенсивности: J0 ± Joi-- -rL'я 4-тактного а:ікЛа масштабной единицей служит А/: = J014 и в окрестности линии .'0/2 спектр также содержит две боковые составляющие /0/2 ± JoH- В пределе накопления бифуркаций удноения периода к > 1 становится справедливой масшгабно инвариантная структура спектра в точках бифуркации. Дробление масштаба но оси частої соответствует делению интервала между ближайшими субгармониками пополам, а интенсивность возникших частотных компонент /„/2* в точках бифуркации на '3.5 дБ меньше, чем интенсивность субгармоник/о/2*+1.
При подходе к критической точке число предшествующих удвоений стремится к бесконечности и интервал частот между ближайшими субгармониками AfК 0. Спектр становится сплошным. Однако интенсивность субгармоник с ростом к очень резко убывает и стремится к нулю при к -*<*>. Поэтому реальный экспериментальный спектр при конечной точности регистрации в критической точке будет дискретным. С превышением порога стохастичности начинается процесс уширения спектральных линий высши\ субгармоник, приьодящий к рост)' интенсивности сплошного шумезого пьедестала в спектре. С некоторого значення параметра (всегда выше критического уровня) в экспериментах действительно регистрируется сплошной спектр. Обычно это слегка размытый спектр (8 - 16)-такт-hoit> цикла.
Рис. 8.9,4 иллюстрирует спектр странного аттрактора при малом превышении над порогом, который соответствует размытому спектру 8-такт-ного шікла. В фазовом пространстве системы такой аттрактор представляет 8-тактную ленту (рис. 8.2).
С ростом надкритичности происходит последовательное слияние много-тактных лент аттрактора, порождающее в итоге развитую 1-тактную ленту. Рассмотрим процесс слияния 2-тактнон ленты в 1-тактную. показанный на рис. 8.10. В момент слияния 4-тактной ленты в 2-тактную (рис. 8.10,7) в спектре колебаний полностью зашумлены линии субгармоник /о/2* (к > 3). Видно, как размываются спектральные линии nf0IA. При этом линии спектра и/0 и п/о/2 практически не размыты. С ростом параметра формируется развитая 2-тактпая лента аттрактора (рис. 7.10,2), спектр колебаний здесь уже не содержит выбросов на гармониках частоты JolA. В момент слияния 2-гактной ленты в 1-тактную быстро (по параметру) размываются спектральные линии п/о/2. и спектр развитой 1-тактной ленты характеризуется сплошным шумовым пьедесталом с выбросами только на основной частоте/0 и ее гармониках (рис. 8.10.5).
Механизм слияния многотактиых лент аттрактора с ростом надкритичности. сопровождаемый последовательным размытием спектральных линий субгармоник л/о/2* (к .....2 и 1). обусловливается гомоклиническими эффектами*). В критической точке перехода динамическая система характеризуется наличием бесконечного числа седловых циклов периода 2*Г0- Рост параметра m приводит к пересечению двумерных устойчи-
*) Легальный бифуркационный анализ эффекта слияния хаоїичсски.ч лент а !трактора ,;з;:аі-ается ниже в гл. 10.
II* 1« Рис. 8.1U. Проекции фазовых портретов (сл^ва) и спектры мощности колебаний (справа) при бифуркациях слияния 2-тактной ленты аттрактора в l-тактнуіо ia критической точкой (физический эксперимент)
вых и неустойчивых многообразий циклов с образованием грубых гомо-клинических кривых. В отображении Пуанкаре на секущей плоскости устойчивые и неустойчивые сепаратрисы седмовых точек, являющиеся прообразами соответствующих многообразий циклов, пересекаются груГю с рождением гомоклинической точки и, следовательно, гомоклиническои структуры. Имеет место четкая последовательность в возникновении таких структур, обратная по отношению к закономерности процесса накопления бифуркаций удвоения. С ростом надкритичности гомоклинические структуры у седловых циклов периода 2кТо возникают в обратном порядке по к, в связи с чем бифуркации аттрактора в закритической области иногда называют обратными или бифуркациями связности.
Универсальность в распределении энергии колебаний по частоте на первый взгляд противоречит процессу дробления масштабов амплитуд в последовательности бифуркаций удвоения Фейгенбаума. Обратимся к би-
164 фуркационному дерезу в -тіиісиия амплитуд (рис. S.3). При каждом последующем удвоении амплитуды неустойчивых циклов периода 2кТп исчезают, уступая место устойчивым амплитудам циклов периода 2 1T0-Картима в распределении энергии по спектру иная: после каждого удвоения спектральные линки неустойчивых циклов сохраняются и добавляются новые субгармоники, амплитуда которых в пределе на 13,5 дБ меньше- В спектре колебаний реально присутствуют собственные частоты периодических движений, потерявших устойчивость!
Это явление легко понять, рассмотрев зарождение хаоса при удвоениях как процесс усложняющейся автомодуляшш исходного колебания. При первой бифуркации удвоения к спектру автоколебаний частоты /0 добавляются боковые составляющие /0 1 /о/2. отвечающие режиму резонансных биений с частотой модуляции /0/2. Полная знергия сигнала включает энергию несущей и энергию сигнала модуляции. Потеря устойчивости исходным периодическим движением не означает исчезновения несущей частоты, вследствие чего и основная линия в спектре колебаний сохраняется. Каскад бифуркаций удвоения, приводящий к последовательному уменьшению амплитуд модулирующих составляющих все более низких частот, приводит к тому, <тто заметная доля энергии аттрактора сосредоточена на частоте несущей и первых субгармоник. Вклад высших субгармоник весьма мал, что обусловлено последовательным уменьшением энергии модуляции на частотах, близких к нулю. Указанные свойства спектра колебаний в режиме аттрактора Фейгенбаума при малых уровнях надкритичности типичны и могут служить отличительным признаком данного типа квазиаттрактора.
