Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Дробная часть d вблизи критической линии стремится к нулю, что обосновывает приближенное описание динамики перехода с помощью одномерного отображения [78. 193] • Численные эксперименты подтверждают возможность такой аппроксимации. Двумерное отображение на секущей плоскости у, г (х = 0) имеет вид близкой к одномерной кривой типа подковы (рис. 8.7а). Модельное отображение уп + l = <fi (jy„) (рис. 8.70), построенное численно для переменной у, представляется функцией, принадлежащей к классу отображений Фейгенбаума (отсутствуют разрывы и имеется один гладкий максимум). Канторова структура в поперечном сечении близкого к одномерному отображения (рис. 8.7) за счет относительно сильной диссипации (g * 03) в масштабах рисунка не проявляется. Однако если уменьшить значение параметра g ^ 0,1. то отображение системы на секущей будет выглядеть как система вложенных близких к одномерным кривых типа подковы, демонстрируя канторовось даже без изменения масштаба изображения [ 176].
Сечение Пуанкаре можно визуаяизовать в физическом эксперименте [194-196] ¦ С этой целью необходимо обеспечить возможность подсветки электронного луча осциллографа в моменты времени прохождения фазовой траекторией заданной секущей поверхности. Например, можно формировать короткие импульсы подсветки при прохождении реализации
160 л с ) через нулевые значения. В этом случае на экране осциллографа на фоне проекции аттрактора на фазовую плоскость будет одновременно зображаться более яркими точками и проекция сечения Пуанкаре плоскостью X = 0. На рис. 8.8 представлены фотографии двух типов хаотических аттракторов, на фоне которых видны соответствующие сечения Пуанкаре. Режим колебаний на рис. 8.8а отвечает значениям параметров, при которых проводился расчет сечения и функции последования, представленных на рис. 8.7.
Качественное соответствие результатов физического и численного экспериментов очевидно. Обратим внимание на то, что в случаях, представленных на рис. 8.7 и рис. 8.8а, реализована 2-тактная лента аттрактора, отображение Пуанкаре которого содержит две непересекающиеся хаотические зоны. В случае развитой стохастичности эти зоны сливаются и сечение Пуанкаре приобретает характерный вид, близкий к одномерной квадратичной параболе (рис. 8.8б).
Результаты совокупности проведенных численных и физических экспериментов наглядно свидетельствуют о том, что в дифференциальной системе (7.38) при переходе к хаосу через удвоения строго выполняется универсальный закон Фейгенбаума.
Проверим количественно закономерности в характере зависимости положительного спектра ЛХП от уровня надкритичности. Как видно из рис. 8.6, вблизи порога имеют место нелинейные зависимости X1(^i) и X і (я), прерываемые резкими провалами с изменением параметра. Изрезанное» кривых Х|(т) и X і (g) отвечает появлению "окон" устойчивости периодических движений (циклов), обусловленных жесткими бифуркациями, расширяющимися с увеличением параметра. Огибающая графиков зависимостей X, (w) и X1(S) вблизи порога допускает аппроксимацию соотношения
X1(W) = с,(м-ш*)7, g = 0,3; X1(S) = C2CS-Jf*)7. »я-1,45. (81)
где с, = 0,181, т* = 1,085 и C2 = 0,395, g' = 0,185, а у = In 2/1п 6 = 0,449. Аппроксимирующие кривые (8.1) нанесены на рис. 8.6 пунктиром и подтверждают количественно теоретическую зависимость X] (р), установленную для фейгенбаумовского перехода на основе одномерных отображений [13, 117].
і- и с. 8Л. Два типа .хаотических аттракторов, на фоне когирых видны соответствующие проекции сечений Пуанкаре (физический эксперимент)
1 I. !І.Г. Лііиічєнко
161 Рис. 8.9. Эволюция спектров мощности Sx{f) колебаний при удвоениях: I - цикл ZT0. 2 - 4 T0. S - Ь7"0. 4 - CA при малой надкрнтичносги (физический эксперимент)
Рассмотрим эволюцию спсктра мощности колебаний но пути к хаосу через серию бифуркаций удвоения периода при изменении параметра т. Последовательности циклов, период которых при прохождении точек бифуркаций удваивается, взаимно однозначно соответствует последовательность в обогащении дискретного спектра субгармониками. Амплитуды субгармоник подчиняются количественной закономерное:и. следующей из масштабно инвариантных свойств процесса ветвления амплитуд циклов. На рис. 8.9 показаны экспериментальные спектры мощности Sx(f) колебаний. Соответствующие им проекции фазовых траекторий и временные реализации х (T) даны на рис. 8.2-
Спектр 1-тактных колебаний (на рис. 8.9 не представлен) состоит из основной линии /о = Tot и ее гармоник nf0. В спектре 2-тактных колебаний появляются гармоники половинной частоты л/о/2. их амплитуды растут с увеличением глубины модуляции и достигают насыщений к мо-меніу следующей бифуркации удвоения. В точке бифуркации появляются и плавно увеличиваются с ростом параметра компоненты спектра л/0/4, отвечая мягкому рождению цикла периода 4T0- Для перехода 4Г0 — 87"0 картина повторяется. Тщательные измерения показали, что отношение интенсивности субгармоник /0/2* к /0/2*+І для Л = 0 и 1 составляет 10 - 12 дБ и достигает величины 13,0 ± 0,3 дБ при k = 2. Расчеты спектра мощности реализации х(г), соответствующей циклу периода \ЬТй (m = = 1,084, S ¦ 0,3), проведенные на ЭВМ с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье, для отношения !інтенсивностей субгармоник /0/4 к /о/8 дают близкий результат: 13,03 ± 0,3 дБ. Можно полагать, что при достаточно больших к достигается теоретическое значение около 13,5 дБ.
