Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
*) в общем случае доио.шительиыл вырождений метут рождаться несколько і пепельных циклов.
SO выми и в систем« возникли асинхронные (асимметричные) режимы колебаний.
Асимптотика зависимости мультипликатора />(е) в данном случае дастся соотношением
Pt«) = 1 - се (3.20)
как при движении по параметру снизу (р < ц*. с > 0), так и сверху (р>р\ с<0).
і* и с. 3. 14. Бифуркация рождения циклив при потере УСТОЙЧИВОСТИ ГИММСЦНГОНЫМ нсрношіческим І'СЧІСННЄМ
Нелокальные бифуркации периодических движений, сопровождающиеся обращением периода в бесконечность. Рассмотрим два случая наиболее часто встречающихся бифуркаций предельных циклов, общим для которых при подходе к точке бифуркации р" является л ре мление периода Т(р) цикла в бесконечность.
Первый случай связан с исчезновением периодическою движения путем его "влипаиия" в петлю сепаратрисы Г0 седла Q. как ото показано на рис. 3.15. Сепаратрисный кинтур Г0 неустойчив, так как любая близлежащая траектория Г покидает окрестность петли. Устойчивый предельный :иіюі при подходе к критической точки увеличивается в размере и в итоге "захватывает'* ссдловое состояние равновесия, "влипая" в петлю сепара-
і* и с. 3.IS. Бифуркация исчезновения предельного цикла If" И слиянии его с пег* 'Той сепаратрисы седла
!' и с. 3.16. Типичная временная заьнсн м--сть фазовой координаты цикла вблизи петли сепаратрисы седла
ar(t)
4*
51 а
6
б
Рис. 3.17. Бифуркация исчезновения цикла при рождении на нем негрубой стационарной точки типа седло-узел
трисы. Дія периода цикла Т(е) характерна зависимость
отражающая факт стремления его к бесконечности. Если цикл Г(р) при р < р* был устойчив, то мультипликаторы также стремятся к нулю для е - 0.
Бифуркации исчезновения периодического движения в этом случае отвечает типичная эволюция во времени любой из фазовых координат цикла, качественно проиллюстрированная на рис. 3.16- Периодическое движение вблизи бифуркации выглядит как некоторая последовательность импульсов, частота которых стремится к нулю при подходе к критической точке. В критической точке временная реализация имеет вид одиночного импульса, т.е. становится апериодической. Естественно, что апериодическая траектория может быть получена только в численном эксперименте. В физических экспериментах фиксируется лишь увеличение периода колебаний в соответствии с (3.21) и вблизи критической точки колебания жестко срываются, сменяясь каким-либо иным режимом. С превышением параметром критического значения в "меленных экспериментах возмущенная траектория, как правило больше не имеет точек пересече нии с секущей. Регистрируется потеря цикла и жесткий переход в новый режим движения системы.
Второй случай бифуркации, приводящий к обращению периода цикла в критической точке в бесконечность, связан с исчезновением периодического движения в момент рождения на цикле стационарной особой точки типа седло-узел. При подходе к критическому значению параметра период цикла стремится к бесконечности по закону
Мультипликаторы цикла, как и в предыдущем случае, стремятся к нулю. Перестройки фазового портрета системы при данной бифуркации качественно показаны на рис. 3.17. При значениях р <р* цикл асимптотически устойчив (рис. 3.17а), В бифуркационной точке д* на цикле рождается негрубое состояние равновесия Q типа седло-узел (рис. 3.116). С превышением параметром критического значения р > р* седло-узел расщепляется на седпо Qi и устойчивый узел Q; (рис. 3.17«).
7(6) = 0^(6"1) + ^.
(3.21)
Т(е) = се~'
(3.22)
52 3.4. Нелокальные бифуркации
в окрестности двоякоасимптотических траекторий
Рассмотрим динамическую систему с трехмерным фазовым пространств цом. в которой существует стационарное решение в виде седловой особой точки. зависящей от параметров грубым образом. Пре;июложим. что .іри ц* имеется особое решение системы в виде двоякоасимктотичсской к особой точке траектории Г0. Петля сепаратрисы седла Г0, очевидно, 1-е является грубым решением и разрушается при сколь угодно малом отклонении параметра от бифуркационного значения. Что при этом происходит?
Как уже обсуждалось в 3.2, в двумерном случае возможно лишь одно рождение единственного предельного цикла (устойчивого либо неустойчивого). Выход с фазовой плоскости в пространство трех и более измерений приводит к качественно новым явлениям. Строгий анализ бифуркаций многомерных динамических систем при разрушении петли сепаратрисы седла и седло-фокуса был проведен Л.П. Шильниковим в серии замечательных работ [S3]. Эти работы сыграли важную роль в понимании и объяснении явления динамической стохастизации автоколебаний и стали, но существу, классическими.
Рассмотрим основные результаты, ограничившись для ясности трехмерным случаем. Пусть собственные числа матрицы линеаризации седловоп» состояния равновесия StOsz 1.2 и 3) удовлетворяют условиям
л3>0. Resli2 <0. <3.23)
Ііведем в рассмотрение две селловые величины
ot(p)' max Rejl(M)+ і3(м),
O2(M)e 2Rej,(м) + і.ч(м)
и предположим, что реализуется грубый случай, когда г, и с? в бифуркационной точке н ее малой окрестности отличны от нуля.
