Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Бифуркация удвоения периода цикла. В основном случае в критической точке ? = ?* при условии, что Ptl Ф 0. имеет место обращение мультипликатора pQi*) в -1. Цикл Г при ?>?' продолжает существовать как седло-вой. а вблизи него рождается предельный цикл, период которого близок к удвоенному. Рассмотрим соответствующую картину в фазовом пространстве, представленную на рис. 3.8. Цикл Г в критической точке ц* пересекает S в точке л-°. Зададим малое приращение^ в направлении и проследим за возмущенной траекторией Г'. Через один оборої по траектории Г' вблизи Г вектор приращения сменит направление на противоположное (мультипликатор равен -1), оставшись в линейном приближении по модулю без изменения. Возмущенная траектория Г' пересечет поверхность S в точке X2 и, сделав еще один оборот, замкнется, вернувшись в исходную точку Xt. Неподвижная точка отображения х® периода 1 при данной бифуркации теряет устойчивость, образуя цикл периода 2.
На примере одномерного отображения бифуркация удвоения периода иллюстрируется рис. 3.9. На рис. 3.9а ц-ц* и Pte (х0)* - I- Дважды применив оператор отображения, для ?^,?* найдем родившийся устойшвый цикл удвоенного периода. Из рис. 3.9б видно, что график ^ |х(Аг)) пересекает биссектрису в трех точках: X0 - неустойчивая их,, х2 - две устойчивые неподвижные точки. Если при подходе к точке бифуркации ?*
Рис. 3.8. Возмущенная траектория I'' в- окрестности предельного цикла г при бифуркации удвоения периода
Y и с. 3.9. Мягкая бифуркация удвоении периода в одномерном отображении с параметром ц ¦ ц * (в) и и >. р * (в)
Х(к*1)
\х(к+2)
с
46 t
P и с. 3.10. Бифуркация удвоения периода на примере временной зависимости фазовой координаты x1(z) с параметром р < р* (Л и р :> р* О
исходный цикл Г был устойчив не в малом, т.е. характеризовался конечной областью притяжения, то родившийся предельный цикл удвоенного периода будет устойчив.
Бифуркацию удвоения периода можно проиллюстрировать на примере наблюдения временной зависимости одной из фазовых координат системы; пусть это будет Xi(V). На рис. 3.10 штриховой линией показана реализация -*і(/) периодического движения Г в момент бифуркации удвоения периода POi*) = -1- Сплошной линией изображена реализация х,(/) для ц ^m*,отвечающая родившемуся циклу удвоенного периода. Асимпїоти'іеская зависимость мультипликатора от параметра вблизи критической точки дается выражением
т.е. зависимость р(р) аппроксимируется линейной функцией.
Бифуркация рождения (гибели) двумерного тора. Эта бифуркация реализуется, когда с изменением параметра на единичную окружность выходит пара комплексно-сопряженных мультипликаторов. В критической точке ц имеет место соотношение
me IPi,2(М*)! - 1. ф(ц')Ф0. и, я/2, 2тг/3. На комплексной плоскости значений мультипликаторов ситуации соответствует рис. 3.11. Неподвижная гочка отображения Пуанкаре становится неустойчивой, и вблизи нее либо мягко рождается, либо стягивается в точку инвариантная замкнутая кривая в отображении. В окрестности цикла Г при этом либо мягко рождается, •іибо стягивается к предельному циклу инвариантная замкнутая двумерная поверхность в фазовом пространстве системы.
Рассмотрим эту бифуркацию подробнее на примере трехмерного фазового пространства. Пусть для неподвижной точки х" имеет место условие (3.14). Так как отображение Пуанкаре двумерно, устойчивость х° описывается двумя мультипликаторами. Задавая произвольное возмущение у »близи х°, мы наблюдаем картину, изображенную на рис. 3.12а. С каждым последующим пересечением Г с 5 на окружности L будут появляться новые
р(е) = се - 1.
(3.13)
Л>і,2(М") = ІРІ<гІехр(±/*),
(3.14)
47 Imp
1
Рис. 3.11. Пара комплексно-сопряженных мультипликаторов цикла па единичной окружности в момент бифуркации рождения двумерного тора
точки Xi, і = 1, 2,. . . , Так как угол Ф в общем случае не кратен 2я, то эти точки образуют бесконечную последовательность, но остаются на окружности постоянного радиуса г = \у\. Если долго следить за возмущенной траекторией Г', то точки пересечения ее с секущей S всюду плотно покроют инвариантную окружность в сечении Пуанкаре. Инвариантную в том смысле, что любая точка на этой окружности переходит в точку этой же окружности. Спустя большое время реализуется картина, изображенная на рис. 3.120. Траектория Г' всюду плотно покроет поверхность "бублика", сечение Пуанкаре которого представляет собой окружность L. Эта поверхность называется двумерным тором. В случае мягкого рождения двумерного тора все траектории в окрестности потерявшего устойчивость цикла Г со временем будут приближаться и располагаться на поверхности тора.
Отметим, что рассмотренная бифуркация рождения тора для отображений может трактоваться как бифуркация Андронова - Хопфа. когда из неподвижной точки х° в результате потери ею устойчивости рождается предельный цикл, которому отвечает инвариантная окружность L. При мягкой бифуркации рождения тора устойчивые траектории на двумерном торе близки к седло во м у циклу Г. Возможны случаи жесткой бифуркации, когда в момент потери устойчивости предельным циклом в него "влипает" неустойчивый двумерный тор. В экспериментах в этом случае наблюдается жесткий переход от потерявшего устойчивость предельного цикла Г к некоторому другому режиму, фазовые траектории которого могут быть удалены от цикла, и их структуру в общем случае предсказать невозможно.
