Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
+ у")2 + р[(н* - у")2 + (и" + у,)21 + е(и" - У*)(и* + у"Х
Приводя эту квадратичную форму к каноническому виду, замечаем, что она
неотрицательна тогда и только тогда, когда
е= 0, р >0, p + v^O.
В силу последнего замечания имеем
-у
n,1 = 2pu* + vdivu + (c)(uy + yj, ' # '
П12 = - а>(их - vtt) + p(liy + У,),
-*
• П22 = 2рУу + v div и - иг(иу +уя0.
Третья вязкость to, как мы видим, Имеет несколько неожиданный характер:
она не приводит к диссипации энергии. Заметим, что вывод о тождественном
равенстве нулю четвертой вязкости справедлив только для сжимаемо^
сплошной среды; совершающей непотенциальные движения.
Наличие третьей вязкости у сплошной среды проще всего интерпретировать
как результат действия магнитного поля, направ-' ленного перпендикулярно
плоскости потока. В ряде частных, но практически важных- случаев введение
сторонних сил, обусловленных наличием магнитного поля, приводит лишь к
переопределению понятия давления, поэтому группа непрерывных'
преобразований, допускаемая соответствующими системами вместе с
уравнениями состояния, может быть найдена методами, развитыми в § 3, что,
безусловно,, важно для приложений. Одной из таких моделей являются
уравнения плазмодинамики в одно-
жидкостном приближении и с произвольным От (О - ларморов-ская частота, т
- характерное время столкновений). Рассмотрим еще одну модель такого же
типа. Пусть р, "= v = е== О, сплошная среда - несжимаемая и однородная..
Модель I. Запишем уравнения движения:
щ'+ иих + vuv - (c)Ли + pi"1?* = 0" (4.4)
vt + uvx + vvy + (c)А и + Po^1pJ/ = 0, (4.5)
Их+н" = 0, . (4.6)
здесь р0 - плотность рассматриваемой среды, to = topi"1 - вязкость. Ясно,
что диссипация механической энергии при наличии вязких
сил такого типа тождественно равно нулю, причем знак to без-
различен.
Предположим, что движение является установившимся, тогда, вводя функцию
тока
можно свести систему уравнений (4.3)-(4.6) к одному уравнению на ф:
д (х, у)
Это равенство означает,, что ф удовлетворяет уравнению
Атр = F(iJ>), -
. • /*г
где F(iJj) - произвольная дифференцируемая функция. Разрешимость краевых
задач для уравнений Такого вида исследовалась в работах С. И. Похожаева
[58-60].
Модель II. Уравнения Навье - Стокса* Полагая to "= е '= 0,
-> - N
•div и = 0, р ро - const, получим
-> -> -> ^ -" .
щ + (и-V)и - рро Ди + Ро Vp^O, divn = 0.
Замечание. Мы не можем утверждать, что группы, которые были получены,
являются наиболее широкими (это неверно). Это происходит потому, что
многообразие, которое, задается системой уравнений Навье,- Стокса,
отлично от исходного (2.7).
Модель III. Если м'= е'= 0, то получим уравнения движения вязкого газа:.
I
р[ив + (и • V)b] - рАи - v^WivBj^
pt + div,(pM) =0,
+(и •-V )р НЬ G(p, р) div и + #(р, р)Ф = 0.
Для получения замкнутой системы следует присоединить уравне-•ние
состояния: одно из тех, которые были получены.
135
Модель IV. Уравнения Эйлера. Полагаем р = v = e = to'= I имеем
ut + (и • V)u + vp = 0, V - в=0.
Модель V. Уравнения движения невязкого газа (сжимаемого):
р[и" + (м • V )ц] + Vp = 0,
pt + div (pu) = О,
pt + (м • V)p + Gip, p) div u = 0.
Замечание. Групповая классификация' системы уравнений адиабатического
движения идеального хаза в пространстве размерности N (физический смысл
имеют N - 1, 2,- 3) с, произвели- ' ным элементом - фуцкцией Gip, р),
задающей уравнение состояния в виде
рс2 = G(p, р),
где с - скорость звука, была выполнена в работе JI. В. Овсянникова [521.
Основной результат ртой работы состоит в следующем. Относительно группы Г
преобразований эквивалентности
р -*¦ ар, р -*¦ ар + Ъ, G -*¦ aG
/
с произвольными постоянными а, Ъ были найдены представители классов
эквивалентных систем, соответствующие специализациям функции Gip, р):
р/(ретр-1); f(pe~2p); /(р); G0pm, ур, 1;
где / - произвольная функция, a GB, т и 7 - произвольные постоянные..
В заключение приведем простейшую нелинейную модель, описывающую
одномерные нестационарные движения неньютоновской сплошной среды.
Модель VI.
(ди . ди\ д (ди \ft др п
gp i д (P") а dt + дх U'
136
I
ЛИТЕРАТУРА
1. Аннин Б. Д. Двумерные упруго-пластические задачи. Новосибирск: изд.
Новосиб. ун-та, 1967. 119 с.
2. Аннин Б. Д. Современные модели пластических тел. Новосибирск: изд.
Новосиб. ун-та, 1975. 96 с.
3. Аннин Б. Д., Черепанов Г. П. Упруго-пластическая задача. Новосибирск:
Наука, 1983. 238 с. *
4. Аннин Б. Д. Групповые свойства и точные решения уравнений пластичности
Мизеса и Треска.- В кн.: Теоретична и прилежна механика. Тр. IV
конгресса. Кн. 1. София, ВАН, 1981, с. 644-649.
5. Аннин Б. Д. Одно точеное решение осесимметричной задачи идеальной
пластичности.- Журн. прикл. математики и техн. физики, 1973, № 2Г с. 171-
172.
6. Аннин Б. Д. Об одной задаче с неизвестной границей для уравнения
Пуассона в пространстве.- В кн.: Уравнения в частных производных и задачи
со свободной границей. Киев: Наукова думка, 1983, с. 12-15.
Т. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. Т. 1,
