Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
ia) Xj = Я, X2 = Z2, X3 =='Zj + c*X12;
- ig) Xj = iS, Xjf = Zg, Xg = Zj5 * •
i4) Xt ", S, Xg* = Zg, Xg* = Xjg.
130
n\. °\ /f'° A\\
>s|8, 0 j + [0 / ДМ* О, 1/ \A В 0/J
lycTb e*?0, тогда
¦g h0\/ cos|8, sinig, 0\ // 0
0 t| - sin |g, cos!
дД 0,
G°=pG(pl-2mp-1), Д^-^р-*), '
it) /, g, h, P, Q,R - функции переменных |i exp (-a|8/2{J), |7, I, 2,
6), "
X7 = Z3 + ctZ1 + pX12 + wiZ2;.
i2) если Р = 0,- то П*" произвольные однородные функции степени
однородности -1/а по переменным |j (i*=l, 2, ..., 6), зависимость от |v,
|8, 1в произвольная,
Хг = Z3 -j- aZy 4- mZ2', • -
t3) /, g, h, P, Q, R-однородные по переменным |t степени однородности
нуль, зависимость от |7, |9 произвольная,
Хг = Zj, XJ - Z3 + рХ18'.+ mZ2.
f-g h 0\ / c,os|8, sin |8, 0\ // 0 A''
П = ( h g OH- sin|8, cos|g, 01 +1 0 f В
\ 0 0 RJV 0, 0, . 1/ \A В 0)
it) f, g, h, P, Q, R - однородные функции по переменным |" степени
однородности -1/а, зависимость от |7, |0 произвольная,.
Хг = Х12, Х2 = Zs + <xZf + mZ2.
COS Is, sin Ig, 0>
•sin |8, cos |8, 0 0, 0, lj
is) /, g, h, P, Q, R - однородные функции *по переменным |< степени
однородности а, зависимость ol |7, |ff произвольная,
v X* =з Zj - aZ3 - inaZa, X* = Х12 2Z3'- 2iAZ2;
ie) если IP' - однородные функции степени однородности i по переменным
|<, а зависимость от |7, |8, |8 произвольная, то
Z* = Zj - Zs - mZ2;
G = ifp, H*= HB, .
ij) Хг .= Z2, X2 = Z3 + aZj + pX12; I •
12) ;Xj=Z2, Хг = Z3 + aZj, - j
13)Xi* = Z2, X* = Zg+pX12, X* = Zi;
14) X* = Z2, X* = Zg + aZj, Xg* = X12; ,
J* . ¦' m
П
' гл
'8 - Я '0 = II" 10H - Я
,8U-|-nisd + 8U-|-soa^ = g 'eU-3-ms,f - 8li-|-soo^ = у
КО Я v\ (\ '0 '0 \/tf '0 '0 Xl
a / 0 I +10 i8l*s°3 '8Ums-)|o l* l4 )L 8 9 = Ш
V O f) \0 '8Ums *8Usoo J\о l4 '3 -/_|ич
'(6 *8 lL = ?) ,l = ,Ix. '95-'t(2/t)='9[x ; '(S 'fr 'S '2 = *) г5=ги 'e5
+ ,5(Z/f)==',f*
эгшнэиэйэп иэИэад '$ф°о чхэ^ц "ц
\ ' zZ (zn) - sz - 'Z = Ix 'S = ix (*?
h^z - 8zs - zxX = (r)x 48z" fe/j) - 8z" - TZ = |x 's' = ix (*?
I8TX = 8x ,8z (zn) + Tz" + 8z =* zx cs = Ix C?
I -xz = 8x 48z (z/j) + 8Txd + ez = ix ls = Ix ((r)?
L -Zz (zn) + *Z" + (r)z = (r)X 'S' = ix (*?
; . izz (zn) + 8Ixd + Tz." + 8z = ix 's'- ix (*?,.
in *(<*)Я=-Я'0^9
f ;8Z - lz = tx lZZ = ix 'X = ix (9? •
I isZZ - zxX = lX ,8Z"-TZ = iX ,8Z = iX 'S-ixft • tzxX = ix 4Tz" + 8Z =
ix 48Z = ix 'S' = ix ('?
r • 4lz= ix 48Txd + 8z = ix 48z = ix 's' = ix ("?
- :Tz" +8z= ix ' 48z = |x 'S' = ix (8?
: '-8Txd + Tz" + 8z = ix izz=ix 's' == ix (l?
ч '°Я='Я' 0 = "
j. ' i8Z("-t) + (8Z-TZ)"^ = iX 4S, = ix(8?
j ^Z (\-w) - (szz - 8Ix)"" = ix
t lZz" (t - tu) - (%" - lz) иг = 'S' = ix (9?
' •!1x = ix 48z (j - ш) + (Tz" + 8z) = ix 's' = ix
(*? -
;TZ - ix l8Z (\ - ш) + (8Ixd + 8z) = ix 'S' = ix (8?
[!8Z (" - ") + (TZ" + 8Z) = ix 'S' - ix (г?
t8z (" - ") + (8Txd + TZ" + SZ) = ix 'X = ix (l? '
'°я=*я i8z - *z = ix '8z *- ix (9?
,fizz - гтх =* ix ,8z" - lZ = ix '8Z.= ix (9i
-i) /. gi ft, P, Q, R- однородные функции, степени однородности 5/2 по
переменным гр (т=1, 2, 6), зависимость ottjT|
г)9 произвольная,
Xl^Z^bZ,, Х*2 = Х12 + kZ3, Х*3 = Z0, X\=Z? G = T-2^' H ~ Я (//(№1Р_1)1 tr
П = Q,
А) x? - Z2 + 5Z3 - 2Zlf x* = X12 + kZ3 + -±- kZ2, Xt = Zr
§ 4. НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ
Вначале рассмотрим частный случай (двумерные движения) и построим пример,
когда компоненты тензора вязких: напряжений П линейным образом зависят от
компонента тензо-
-"
pa Vu.
Пусть
п11 = ь\р\, п12 = п21 = dp], п22 = dip],.
I* I _1 . "Ь
fcj, с*, <Й -. постоянные, тогда очевидно, что о0 = 0, и мы полу-" чим
систему определяющих уравнений вида
( дв , дв Л , дв 0 ае п ;¦ 4Р ? + °) + ГТР~ 2а'ра*Г = °*
( дН , дН\ , дН ' дН '
elp ар+paF; + r^_3a6pap =0'
(е + й2) Ь*р* + с12 [(pi - Рг)(^2 + ^i) + (Рг + Pi) (^2 - ^i) +'
+ 2CjPj ] = 0, (4.1)
(е + a2) dp] + й12 [(pj - р|) (c\ + с2) + (p2 + p2) (c2 cj) +
+ (^-Юр'] = о, . (4:2)
(e -J- й2) djpi + a12 [(pj - p|) (d| + 4|) + (p| + Pi) (d| - <й) -
- 2cjp*] = 0. (4.3)
Предположим, - что e + (h = О, тогда общее решение (4.1)-(4.3) имеет вид
п1-1 = Ь\р\ + р\Ъ\ + Ъ\р\ + Ъ\р%,
П"-4 W + ").р! + 4- № - (р1 + й).+ -тЙ + Ч) А ¦
п" - Ыр! + ед-ЬК-ча-
I
Вводя новые постоянные по формулам a = -§-(tf-b2), 6==Ь2. с = -|-(ь! +
ь2), d =
ш
и идентифицируя с, 6, с, d с первой, второй, третьей и четверто*"
вязкостью соответственно, имеем (и=(и, у))
П11 = 2ри* + v div и + (йЫу + vx) + e(u" - vx),
П12 = - ю(и* - Vj,) + р(иу + н"), •
П22 = 2pyv + v div м - (лЫу + vx) + е (м" - у*),
ди ________ ди ди _______(ди ди ^
Ux==dx' ПУ==~д^' Щ - Гд?, Щ- \dt'dt)-
Вычислим диссипативную функцию Ф, входящую в уравнение! для производства
энтропии. Она должна быть неотрицательной:!
Ф = (П: Vw) = Пинж + П12 (iiy -f~ vx) + П22^ = 2\шх + . J
*'1
.+ vux div и + toих (иу + vx) + тх (иу - vx) - ч> (их - vv) (щ + у*) -Ь '
+ И- (и-у + vx)2 + 2ру2 + Wy div и - и (иу + vx) Vv + е (иу - vx) vy = ,
= 2p(u2 + vy) + р (иу + у*)2 + v (их + Vy)2 + е (u" - vx) (их + vy).
Выражение, стоящее в правой части, может-быть записано в виде (р, + v)(k*
