Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
перспективные в смысле возможности решения конкретных задач значения и
формы экспериментально определяемых физических величин и зависимостей, но
и "подсказать", какие именно' макроскопические параметры сплошной сре* ды
следует измерять для того, чтобы воспользоваться, той или иной из
предлагаемых моделей [52].
Замечание. В рамках этого подхода (групповая классификация) и сделанных
предположений других моделей чисто механического континуума, кроме тех,
которые будут полечены, не существует. В этом смысле мы получим
исчерпывающий ответ на вопрос, какие именно математические модели чисто
механического континуума возможны и какие эксперименты следует провести
для возможности использования той или иной из предлагаемых моделей. а
N- 1. В этом, случае классификация проводится особенно .просто. Поэтому
приведем полностью те характерные рассужде-яйя, которые будут
использованы и при классификации в случае N'-2 ж N*=d.. Прежде всего
заметим, что
п = с(й?; во = 0, цФО, (3.1)
поэтому определяющие уравнения примут вид
e(pGp + pGp - G) + rGP - 2aspGp - 0, (3.2)
eipHp + pHP) + rHp - 2а5рЯр = 0, . (3.3)
"+^-0, (3.4)
->
Рассмотрим уравнения (3.2). Введем вектор А •- {Л1? А2, 4*}, где А, - pGp
+ pGP - G, At - Gp. As - -2pGP.
Пусть все векторы А компланарны, но существуют два не кол-яинеарных,
тогда найдется вектор (а', Ъ', с'}, ортогональный плоскости векторов А:
(а'р + b')GP + (а' - 2c')pGp-a'G = 0.
- Если а Ф 0, те за счет преобразования эквивалентности р->-ар, П-*-аП,
р-*-ар + Ъ, G-*-aG, Ф->аФ
вектор с компонентами {аЬ', с'} перейдет в вектор с компонентами {1, 0,
т),уравнение (3.2) примет вид
pGP + (1 - 2m)pGp - G = О,
119
общее решение последнего находится без затруднений:
G*=pG(p'-a"р-1).
- --¦ Еслц а = О, Ь'ФО, то вектор с компонентами {а','Ь', с'} перейдет
либо в (0, 1, 0), либо в (0, 1, 1), соответственно этому 'имеем уравнения
GP - 0 с общим решением G=G(p) и GP -2pG9 с- общим решением G = G(peip).
Если а'<= 0, &'i=0, то имеем
вектор (0, 0, 1} и уравнение GP^ 0 с общим решением G - G(p).
* -^ "
Пусть все Ъекторы типа А компланарны и параллельны век-
* -> ' 4
тору с компонентами {а', Ъ'г -2с'.}. тогда если А не постоянный, то -
найдется такая функция В{р, р), что
pGP + pGp - G = o'В, (3.5)
GP = Ъ'В, (3.6)
pGp - с'В. . . (3.7)
Из (3.5)-(3.7) следует, что G<=ib'p + с' - а') В, тогда из (3.6), (3.7)
(Ъ'р + с'-аПВ^О, р {Ъ'р + с' -а')Вр^=с'В,
поэтому Ь' == 0 и с'Фа', иначе В - 0, но в этом случае, как легко
видеть, ВР = 0, а' - т - I, с' = т, следовательно, В = Bopm, G ==
. = G0pm. Если А не зависит от р и р, то В - 1. А так как G -
^{Ь'р + с' - а')В, то или-Ь'|= 0, G- 1, или Ъ'Ф 0, G - yp. Ио
* . ¦
следование в случае нулевого вектора А проводится тривиально.
* * v ^
Теперь заметим, что в случае компланарных векторов типа А выполнены
равенства
¦ еФа'с, г - Ъ'с, . а5 '=с'с,
J поэтому возможные .типы векторов, {е, г, а5) имеют следующий вид:'
.
{1, 0, mi; (0,1, 1); (0,1, 0)- {0, 0, 1); {2m, г, m -1>;
{с, 0, flji, (0, Г, Д5), (2, г, 1>; ie, г, аХ
Этим векторам соответствуют уравнения на И, которые легко ре-. шаются.
Для удобства дальнейшего исследования приведем пары ' функций {G, Я},"
которые следует рассматривать: '
{рС(р*~*тр-*), Я(р*-атр-*)}; • {G(pe?p), Я(реар)};
Ш(р), Я(р)>; {G"pm, Я">; (G(p), Я(р)};
' .- (та ИХ (1, Я">; (0, Я(р)>; (0, Я0>, 1
Go, Я0 - постоянные;
Если арф0, то следует рассматривать только нары
Я.}, Я(р"да"р->)}.
Переходим; к формулировке результатов "по классификации**, одномерных
моделей чисто механического континуума. Доцолни-
120
-ельные операторы будем обозначать через X*': n^c(pi)" (р^О),
G-.pG(p'-8mp-*), Я = Я(р'-2и*р-'),
Xj = Zj - pZ3 - flijiZfy
G -G(pe2p), H - Я(регр),
Xi = - |iZs, X2 = ^+5; /
G"=G(pJ, Я = Я(р),
X; = Zj-pZ3, Х* = 5;
G'=G0pm, Я*=Яо,
X* = 2m (Zj - pZa) - p.(m - 1) Za, X* = 5;
G'= tp, Я"=Я0, ^
Xx = Zj - pZ3, X3 =Z2,
G= 1, lH"=Ho, X* = Zj-pZ3, X; = S, Xs = Za;
G=G(p), Я"=Я(р),
• Xj == Zj - pZ3, Xa =.Z2,
G - О, Я = Я(р),
. X* *= 2Zj - 2pZ3 - pZ2, X* = jS;
G = 0, Я = Я",
Xj - Zj - pZ3, X2 = Z2; X3 = "5";
Я"=2. Необходимо рассмотреть два случая: "<,'= 0 и ав э6 0.
I. a0Jf=Q. В этом случае определяющие уравнения примут вид
/ и a 56 /-"' . 0 - 56 л /п oy
"Г S?'b" 5i_G) + r5?_2%" 5?"01 (38>
\ 0U* 0И° / ди0 5 0и4
+ a2pi + "j^^xH11 + 2П*2) = 0( (3.10)
. дРш
• еП12 + а2р1-^ + ^2 (^П12 + П22 - П") = 0, . (3.11)
dps'- ,
. ЯП22
еП22,+ flsPi-^т + а" (Lin22 " 2П12) = 0. (3.12)
^ * *
?. - 04 -.ф [ц + jjj] + 04 + rf) - ^)- _
•здесь -
121
Определим возможные связи между е, г, й5, "г, я,г. Для оолегче-ния
процедуры заметим" что в качестве следствий из системы (3.10)-(3.12)
имеем
eV + а27]1 ~ + 2я12-|~ = 0,
"Ч1
2е% + а2ч* ~ + 2я12-^ = 0, .
где
Ущ1гП, з^ОР-П^ + ШГ1)*
(очевидно, Что V и х одновременно в нуль не обращаются). Новые
независимые переменные тр, ф определяются формулами
Ч1 = \^(р\ - p\f + (pI + Pif,
% ' Ч2 " Р\ + рЬ "П3 = р\ - РЬ Ф = асс*4±*
¦ Я-Ч
