Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
•
*= аа(х0)2 + 'а2х° + d,
1*'= а0х',хк.+ амх*\? а2хъ + айх* + ймж° + Ьх.
Он, 1фк,
= l О, " = Л,
tj*=-\(а0а:в-а*)ю* + flwu*+ ОоЖ*+ам,
'tj4 *=" (е-2а*-NaaX°)n\ tj " = [е - (Я + 2)а0х°] и" + ф(х°),
а0. л", "5, d, аь{, eM, 6*, е - групповые постоянные, Я"= 1, 2, 3.
: Рыхшшем соответствующие инфинитезимальные операторы X, ' ' N"~ 1:
Обратимся к оставшимся уравнениям:
N -f" 2 т-rftt 1611м , oj\
flfl--~2 П Г** OgPj-J, (2.31)
; ¦ pi _
• "•If-0- """
%,п" + "ИП" + Л1" + ".pif? + (2.33)
/ 9ps sp; dPt
drf - (ЯФ + - 0"S"j + G [Na0 - pt(2ve + o2)] +
+Я.Цй + (5У + Цч'}р! + Ф(S4*+^ 0i; (2,34)
Вначале рассмотрим группу членов типа
[ф(^-Л5").-§й]-
, 4 N
Ф [в - (N + 4) а0х* - а2] - а* 2Т) + "
' дФ i , дФ I , " - 1.0Ф1
. -vl
Заметим что
_1^ПМ * _ *дФ
Pj~jr7Pk - PiJ~i Ф" 1
Bp)
поэтому из (2.31) следует равенств^
",(Я+ 4)Ф-2едЛ =
- Я IФ |
- Я(
Далее,
N ы N
апм
2дПы t V5Ф . п
"ГГ Рь ~ jL Т1 - ".
"3 др\
поэтому из <2.32) получаем •' ' -
ЩМ -
Умножим. (2.33) ва р* и просуммируем по ft, г от 1 до Я:
e*ipln14"tiplnw+ер*П*'+aj>i~p{^p{l^Tplalj+pi~-pliaj,^0.
щ т dps
' Отметим следующие очевидные равенства:
t апм дФ - "
''ЛТГ'"Г* - 4гП' ч Эр\ 84
">*ТТМ <Т". -* 8ПЬ* _t /0ф ^
Pfcll = Ф. Pf-fPh = Рш-Ту-Фу Эр. -Щ
*511**"* 5Ф * . trrift
Pk-ТТ Р1ац = -t р;а1р+а<1рЛП'\ г
ор, ор, ..
"011м I 5Ф ( *""
Vk-rPfl), - -f Pjap ~ "ыРШ* .
ор, ор,
#
Поэтому из (2.33) после небольших преобразовании получим
(r)Ф + atP'Ti -"аФ- й riaU + ?7 = 0- (2-35)
. эр. , яр. , эрш.
Учитывая полученное равенство, указанную хрупну членов можно привести к
виду:
rf f-Л" п . 1ЭФ дФ * .. 5Ф I
- В [еФ - aetr П + OjP, -; - -7 Р&ц + -j P^i* -
( opi op, "Р.
- а2Ф ^ + 4) Ф -12pJ^jj - OoH t* П.
Поэтому уравнение (2.34) перепишется в виде
-(N + 2) а0и° + f (х°) - р\ |в ^ - ф + 2adx(r) + at j -
Далее, поскольку имеет место (2.32), то м М ёгаР\
поэтому дифференцируя (2.36)- но р\ и суммируя По t от 1 до N, имеем
.
-Л,[с(й - +^+*) - +?И] -+ '
+ (%4>+%4')trB-0. • . (2.37)
Отсюда следует, что либо tr Ц = 0, либо .
' (2>38)
* . ди ди
*# " ч •
однако если tr П = 0, то из (2.36) ввиду нелинейности Ф получим (-2.38).
Следовательно, (2-38) имеет место всегда, независимо от того; равняется
нулю след тензора вязких напряжений П или нет. Тогда иэ (2.37) вытекает
. .. &*>' а уравнение (2.36) приводится к виду .
a0NG - a0(N + 2)и" + -ф'Ъ:0) + а^Я tr П >== О,
которое распадается на два:
• afiNG - a0(N + 2)в° + ф'(ж#) = 0, (2.40)
а"Я trn = 0, (2.41)
чюэтому ф(хв) >= хх* + г, aeWG-~ (Я + 2)й(r)1 +4tl"0, н так кая из (2.40)
следует, что
G ='^-ф- м° + (r) (е = const),
ТО """-ввИ. -
Рассмотрим (2.39). Это уравнение после небольших преобразований может
бытБ записано в форме ,
? * й0ех°[^±^-(ЯЧ-4)]^=0, (2.42)
поэтому е - 0 const. . ^
Следовательно, уравнения, играющие роль ограничений, накладываемых на
"широту" .допускаемой системой (2.1)-(2.3) группы/имеют вцд' .
".[(ff4-2)(":g-G) +ЛГ"""]_0, (2.43)
117
aB[(N + 2)u° - iVG] >== 0, (2.44)
е(ц*Ж+ио1б_с\ dG 2 uidG Q (2 45)
¦ \ 9ц* du° J du° 6 . du*
°"[<ff+2>""i+Ar"'5|]-0' <2-")
aBH tr П = 0, (2.47)
e (uodJLo + "4+ rdJL-2abu*?{ = 0,. (2.48)
V du° du*) du° ^ du*
N- -f- 2 rrht ' i /о /Q\
a0 -f- nftt = a0p) --r-, (2.49)
9Pj '
oTrfef
(2-50)
i =1 Pi
ahiП* + atinfei + еПм + a2pi-^--^ pjay* + -^-pjajs = 0.
P' P& * (2.51)
Исходя из системы' уравнений (2.43)-(2.51), нетрудно сделать следующие
выводы: при произвольных П, G, Я исходные уравнения допускают операторы
. XB,-Xt, Yt ,(i = l, 2, ..., N)
(в дальнейшем группу, порождаемую этими, операторами, будем обозначать
через Г0). Максимальная группа непрерывных преобразований, допускаемая в
смысле Ли-уравнениями (2.1)-(2.3), соответствует 11 = 0.
§ 3. СТРУКТУРА ТЕНЗОРА
ВЯЗКИХ НАПРЯЖЕНИЙ И УРАВНЕНИЙ
СОСТОЯНИЯ ЧЙСТО МЕХАНИЧЕСКОГО КОНТИНУУМА
Рассмотрим систему определяющих уравнений (2.43)- (2.51). Как уже
неоднократно отмечалось, эту систему следует трактовать как ограничение
на "широту" группы непрерывных преобразований, допускаемую исходными
уравнениями
(2.1)-(2.3).
Наша > задача состоит в том, чтобы определить возможные типы связей между
групповыми постоянными, входящими в. эту систему, и как следствие -
получить системы дифференциальных уравнений на компоненты тензора вязких
напряжений П и на функции G, Я. На этом пути мы получим не только общие
представления тензора напряжений чисто механического континуума как в
изотропном, так и в анизотропном случае, и соответствующие уравнения
состояния, но и наиболее широкие группы непрерывных преобразований,
допускаемые уравнениями движения
118
v
каждом конкретном случае специализации тензора П ж функций G, Я. Иными
словами, каждой тройке элементов Gi(p, р),
Hdp, р), Ib(VB) ставится в соответствие группа Г<, содержащая в качестве
собственной подгруппы группу Гв.
Важность решения подобной задачи Очевидна.' Дело в том, что в качестве
конечного "продукта" мы получаем классификацию моделей чисто
механического континуума, что позволит не только отобрать наиболее
