Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
- баланс энергии;
- термическое уравнение, связывающее поток тепла с. температурой и
градиентом ее;
- энергетическое уравнение.
Сделаем дальнейшее ' упрощающее предположение. Будем рассматривать
адиабатические движения чисто механического континуума, для которого
характерна зависимость
' II = n(Va),
-v ' •
где П - тензор вязких напряжений. В эту модель входйт, в частности,
теория жидкости, в которой
П = 1Ш",
где D - тензор скоростейдеформаций - симметричная часть тенаора Vu.
5 2. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ЧИСТО МЕХАНИЧЕСКОГО'КОНТИНУУМА
Предположим, что тензор напряжении, фигурирующий в уравнениях (4.1),
выражает чисто механические свойства описываемого континуума.. Тогда его
можно в общем случае представить как сумму двух тензоров. Первая часть
зависит от состояния чисто механического континуума, вторая - от скорости
изменения этого состояния. Это означает, что тензор напряжений чисто
механического континуума состоит из равновесной части Т' и неравновесной
части Т°, обозначаемой в дальнейшем П,*1 т. е.
Г = Г*+ 7" аз 7* +П.
Поскольку П зависит.'от скорости изменения состояния и, следовательно, от
ее градиента, и так как вязкие силы обусловлены . именно градиентами, то
П называется тензором вязких напряжений. Поэтому Ц = 0 для любого
континуума, находящегося и состоянии равновесия, например, тензор вязких
напряжений равен нулю для покоящихся газов иди жидкостей. Далее, в таких
случаях в силу изотропии равновесная часть Т* тензора напряжений
превращается в скаляр, т. е. Т р/, где р - давление (гидростатическое); I
- единичный тензор. Это разложение пока-зывает, что в случае неподвижных
жидкостей и газов .отсутствуют напряжения сдвигов, которые определяются
внедиагонадь-ными элементами матрицы тензора напряжений Т. Что касается
неравновесной части тензора напряжений, то в общем случае
. ->
тензор вязки?., напряжений П является функцией тензора ^и =*
= grad и. Следующее предположение исключает из -рассмотрения полярные
среды: тензор вязких напряжений является сик-
406.
детричным, т. е.
ПЙ^П* (Vi, j).
Далее, как известно, закон сохранения энергии выражает тот факт, что
изменение полной энергии газа или жидкости (в 1 с) должно*равняться
полному потоку энергии через границу этого объема. В то*# случае, когда
рассматриваются модели сплошных сред, учитывающие наличие вязких сил, в
плотность энергии будет входить еще одно слагаемое, обусловленное
процессами внутреннего трения.
Если дополнительно не предполагать изотермичности происходящих процессов,
то возможен перенос тепла посредством так называемой теплопроводности.
Ясно, чтр, вообще говоря, этот процесс не связан с макроскопической
скоростью движения и может происходить в неподвижной жидкости или газе.
Как правило, предполагается выполненным закон Фурье, согласно которому
.
q - - >cV0,
где к - коэффициент теплопроводности. Поэтому полная плотность потока
энергии в жидкости при наличии вязких сил и теплопроводности имеет вид
(см., например, [38]):
рц((1/2)М?-Ы) - Ы-Щ - xV0.
Следовательно, общий закон сохранения энергии будет выражаться уравнением
- _ ¦
if (р^т~ + р^)8=5 ~ div [рм (^т~ + г) " ~ *ve],
E + {.iJ2)\u\7i - U.
Преобразуем полученное уравнение к-виду, более удобному для исследования.
Вычислим производную,' стоящую в левой частщ-исходя из уравнений
движения:
д. ( |и|2 , Л i I -IS вр , .(¦+. " 8В , 1? дР
. &t \^Р 2 Р j 2 IU * 8t Р ^at J Р at dt "
= --|-iupdiv(pH) + p("*V)4-U|2 - ("*Vp) + к'^рГ +
+ p4f - jEdiv (pu>*
* * Используя термодинамическое тождество
dE =. - pdV = QdS + p~2pdp,
получим
f - e-If+# - e ^ <p">-
lQf*
Вводя энтальпию
¦' i=*E + pV,
имеем
(р т Iu I2+р?)~-(*+т!и I2)div (ри) ~
г* i i •*12 , " as , j ш
- p(u*V)-9-| u\ - (u-v)p + P(r) ~zr. + u
ih
at * a**
Теперь, исходя из термодинамического соотношения
di = SdS +' V.dp,
имеем *
Vp = pVi-p(c)V5.
Учитывая равенство •
"* = ± (".П) - IT*div (и-П) - П**^
дхк дхкК 7 дхк v
и вычитая div (xv0), получим
¦Я-(рт1"Г+ Р?) =.- div ?ри^-|-|н|г + ij- (и-П) -xV(c)J +
+
ре ("• V) s] -nift^ - div (XV(c)).
Сравнивая с исходным уравнением, получим уравнение для производства
энтропии
р(c) [-§?-+ (и- V) S] - (И: Vu) + div (XV(c)).
Первый член, стоящий в правой части написанного уравнения, представляет
собой энергию, диссипирующуюся в виде тепла (из^за наличия вязкости), а
второй - тепло, подводимое в рассматриваемый объем за счет
теплопроводности.
Предположим, что чисто Механический континуум, который мы изучаем,
является нетеплопроводным (х = 0) и двухпараметрическим (в
термодинамическом смысле). Последнее означает, что имеются две
независимые термодинамические переменные, например, р и р. Тогда можно
считать, что
S = S(.p, р),
и уравнение для производства энтропии может быть преобразовано в
уравнение вида
Ат,+В'§-С'
здесь А и.# -функции только р и р, а С - диссипативная функ--> -
ция Ф33 (П : Vu), отнесенная к плотности. Уравнение состояния в таком
виде впервые было' введено Р. Мизесом- [46]. Нетрудно
