Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аннин Б.Д. -> "Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2" -> 31

Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.

Аннин Б.Д., Бытев В.О., Сенашов С.И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 — М.: Наука, 1985. — 143 c.
Скачать (прямая ссылка): grupoviesvoystvauravneniyuprugosti1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 44 >> Следующая

давления.
4. Из групповых свойств уравнений (24) следует, что аналг-ги решений
(4.5), (4.10), (4.12) из гл. 3 могут быть построень для системы
.уравнений (2.1). Например, аналог решения Р. Хилла [90] построен в
работе [24], зто решение можно использовать для описания пластического
течения неоднородного материала выдавливаемого из сжимающейся
цилиндрической втулки. Некоторые другие решения, в частности, описывающие
пластическое течение толстостенной трубы под действием внутреннего
давления, а также? обширная библиография приведены в обзоре [57].
' Там . же можно найти сведения о точных решениях, построенных для других
видов пластической неоднородности.
2°. Группрвая классификация уравнений неоднородной тео-г v рии
пластичности.
В предыдущих параграфах были рассмотрены уравнения теории идеальной
пластичности, когда предел текучести не меняется при переходе от одной
точки материала к другой. В практике часто встречается пластическая
неоднородность, которая может быть вызвана следующими причинами:
воздействием температурных градиентов, потоками элементарных частиц,
неодно-. родностью состава, механической обработкой и т. п. Указанные -
неоднородности по-разному влияют на пластическое течением материала и вид
закона текучести. Ниже будут рассмотрены, -следуя [57], только
неоднородности, которые определяют предел' текучести как функцию
координат. При этих предположениях, основные уравнения можно записать в
виде [57]
вх _ 0' вт длу ' ¦
- (о* - о")г + 4тг = 4Я2(зг, у).
100
Сравнения (.2.10) представляют собой сложную систему уравнений.
Построение решений аналитическими методами весьма проблематично [57]. Для
решения системы (2.10) используются в основном обратные и полуобратные
методы, поэтому вполне естественно воспользоваться здесь аппаратом
группового. анализа.
Если считать функцию К произвольным элементом, то задача групповой
классификации для системы (2.10) в работе [70] решена. В. результате
выделены классы функций К(х, у), наиболее перспективных для построения
точных решений уравнений [52].
Ниже для простоты будем предполагать, что К = К(у). Этот случай важен для
приложений, поскольку именно, такая неоднородность возникает при
воздействии облучения на материал. Итак, имеем уравнение вида
да. я-г Ят да,.
af+-?-0' ?+*? = 0' <*И>.
(сг* - ау)2 + 4т2 = 4КЧу).
Введем функцию напряжения по формулам
д\ " д2и д2и /0
' *" 17' т~( }
и обозпачим щ = и2 = В результате уравнения (2.11)
перейдут в следующие:
/ ди, dua\z (диа\й ди. ди,
Ы - -si) +4 ы) - <">- <218>
Система (2.13) сохраняет свой вид при преобразованиях
и\ = агщ + \ (i = 1, 2), (2.14)
х' = агх + Ъ3, у' = агу + Ь4.
Две системы будем называть эквивалентными, если одна из них переходит в
другую при некотором преобразовании (2.14). Отнесенное к функции К(у),
это преобразование действует по формуле •
Кх(у) = (l/a2)K(a2y + Ь4) + с. (2.15)
Допустимый оператор ищем в виде
гДе г]* -функции от хи х2, и,, и2, хх = х, хг = У- Продолжен-ным
оператором
X-Jt + t, ,-п + Ь Л +? "г,L+E- А.
др[ др{ . дГ\ dpi
где
' т,\-дЛ г Л-
ft-*,.. b,-e,. + P^-Pp(to.+P^Bjk-J*
101
действуем на систему (2.13) и переходим на многообразие, задаваемое этой
системой. Расщепляя полученные выражения на вторым степеням р], имеем
дЛк л. п1 fb .и п* !-Ь-- п2 - п1 ?1! = '
. дх^ ди1 Р.1 ди^ дх^ Р2 дх^ *
_ дЛ + D* !li + п2 н1^-n1 "§!
дя2 ^ 2 ди1 ' Р2 ди2 1 дх% Р2 дх^ г
Щ = 0 **,7 = 1,2), ,.,(2.16):
9 Г 1X2 ( 2)2)l/a /3t)l , 1 д\ ¦ 2 '>Ч1 1 дЪ1
* [К - Ш 1 ^ + Р! ¦+ рх ^ - р4 ^ ~
_pl?L2_^_pl^_p2^ , D2?^ , 2
2 dut 2 ди^ д.х2
+
An2 -и п1 f!l? -и г)2 5Т*2 п2 п2 - й?2КК'
tPl [ дхг + Р} диг + Л d^2~Pl дх^Р* WJ - 45 ¦
• м., -- = 0. 2 ду
Расщепляя соотношения (2.16) по степеням р)*" приводя подоб-ные и решая
полученные уравнения'на |*, тр, имеем
|' =?= qxi + Ъхг + wI, к), = ап, + but 4- схъ +&,
(2.17)
|2 = -bxt + qx2 + 102, rj* = -bu, + аиг + схг + d^,
где а, 6, с, q, d(, wt-некоторые постоянные. С учетом
(2.17)
классификационное уравнение примет вид
K(a-q) = (-bxi + qy + w2)^-. (2.18)
Из (2.18) в предположении, что К - не тождественная постоян-
ная, следует b = 0. При атом имеем •
" (тх , ЗК\ дК
aK~q[K + y-j-.r
а. Если дч^О, то, полагая g = 1, а - т+1, уравнение (2.18) приведем к
виду
j* дК Л тК-у-^^0.
Решая это уравнение, имеем К - сут, ще с - произвольная постоянная.
б. Если 9 = 0, 0=^0, 102=^0. Положим а = 1, тогда уравнение (2.18)
приведется к виду
К - 0.
ду
Его решение имеет вид К = сеу, где с - произвольная постоянная.
Окончательно получаем:
102
1. Если К - произвольная функция- переменной у, то система (2.11)
допускает операторы
- X^ik+'k = ' (2Л9>
2. Если К=.су(tm), то система (2.11) допускает операторы
Х" Х" Х3 = х? + у± + т(°*-?-х + т-? + a, Jl). (120)
3. Если К - се?, то система (2.11) допускает операторы
Хг,Х2,ХА^~ + ах^ + г-^+ оу -(2.21)
Построим все инвариантные решения для найденных видов функции К(у).
3°. В случае произвольной функции К(у) оптимальная система для алгебры Ли
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 44 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed