Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
flti i
зультатами [711, где показано, что = 0.
В результате расщепления системы "(1.16) получаем ?!!l _ _ дЛ ,
= о '
дох дх1 дт дт2 '
fUl , StV, di1 _ n STii_0 M17.
~тг- ^ 4 ~ I°v~ - '
- . _д|_2 ^_ ?Цг , ?2k о
dx^t dax ' дт1 дж2
?!k_n _f^2 , df , ^3_d|^_0
dax дх1 ~~~ дт. ' дт 8x1 day dx^ *
• ег1з_п ?^. ?*" "
до" дх- u' дОд. "u' dxt ^dx2~v'.
oP = aox+f( t), ri3 = ar]1 + fri2.
Из формул (1.17) получаем
= Ax, + bx2 + ct, I* = -abx i + Aa:**+' c^,
г), = 2Ьт+о*а + й(з:|, x2), " (1.18)
T]2 = -aba* + bo, + ax + g(x,, xt),
r]s = - 2<xbx + aoy + (ptet, зг2),
- _l J?? _ n dg дф
, дт, + дт
2 .1 2
юсификационное
aif-fx) - fc(4ax + //') + q> - aft + /'s = 0. (1.19)
где ^-+-=0, = 0. В результате из системы (1.16)
получим классификационное уравнение
9"
Полагая в уравнении (1.19) функцию f произвольной, получи*" основную
группу G0:
л> у
Найдем группу преобразований эквивалентности для системы
(1.14). Вычисляя ее согласно [52], получим, что она порождается
онераторами
Х1,Ха,Х3,Х4,Х5 = А
V а , а . д , * д V в . д
Х*-0хд^х + аУд^у + ,1~дЧ +> If' Х' - If + aS,'
Отсюда следует общая форма преобразования эквивалентности произвольного
элемента, которая может быть записана в виде
/ == а/(ат + Ъ) + с, ' (1.22>
где а, Ъ, с - независимые параметры. С учетом преобразовании,
эквивалентности из уравнения (1.19) получим
a(f - fx) - Ь( Аах + //') = 0. (1.23) *
Для уравнения (1.23) возможны два случая: 1) а = 0, 2) аФО.
Рассмотрим первый случай: а = 0. Тогда из (1.23) имеем. 4ат + //'=.0.
Решая это уравнение, получаем / = У с - 4ат2, где с - произвольная
постоянная. Полагая с = к" где ке - предел текучести при чистом сдвиге,
получаем следующий закон текучести:
(ах - а а у)2 + 4ат2 =
При этом допускается оператор
?72 + 2т^+ (оу - аах) - 2ат щ.
Рассмотрим второй случай: аФ 0. Положим а = 1, Ь = [}, тогда уравнение
(1.23) переходит в уравнение
f-ft- р(4ат + //') = 0. (1.24)
Введем обозначение г = //т, тогда уравнение (1.24) перейде! в уравнение
xz' + р(4а + tzz' +V) = О. (1.25)
Если р = 0, то / = с,т+ с2. Этот случай из рассмотрения
исключаем, поэтому Разделяя переменные в уравнении (1.25) и
интегрируя его, имеем
ilnlf^ + fopl + ^mtg^ Н"1.
где с - произвольная постоянная. Окончательно получаем j
IncOT + WP)-
ы
1оскольку f - Ox - ао", имеем
In {[(а* - аоу)* + 4ат2] 0с} + arctg °х -(tm)v = О,
руа 2т уа
где с - произвольная постоянная. При этом допускается оператор
Тем самым задача групповой классификации полностью решена.
3°. Некоторые, точные решения для уравнений, описывающих плоские течения
анизотропной пластической среды.
В результате групповой классификации нами выделены два закона текучести:
при которых группа G0 расширяется на один оператор. Построим для
уравнений (1.13) возможные инвариантные решения.
1. Система уравнений
описывает плоское течение ортотропной среды. Как показано выше, уравнения
(1.28) допускают группу непрерывных преобразований, порождаемую
операторами
Инвариантные решения можно построить только на подалгебрах
(ау - аож)2 + 4ат2 = 4й|,
(1.26>
(1.27>
(1.28)
(о" - аах12 + 4ат2 = 4/с2
la. Решение на подалгебре <рХ4 4- Х5 -Ь ^Х3> в системе координат гб: Iя =
(аж)2+уг, tg 0 = у/(ах), где
о, = ас* cos20 + о" sin2 0 + 2ат sin 0 сое 0, Ое = ао* sin2 0 + Оу cos2 0
- 2ат sin 0 cos 0,
T,e = <xt(cos2 0 - sin2 0) + (ov - a oj sin 0 cos 0,
следует искать в виде
о, = - осу(c) + /(?), ое = - сек(c) + <p(?), (1.30>
т = ф(?), ? = r exp |)0.
95-
После подстановки (ИЗО) в систему уравнений (1.28), записанную s системе
координат г0, приходим ц, уравнениям, которые исследованы в гл. 3, § 8,
п. 4. Решение вида (1.30) может быть исполь-; зовано для описания
пластического течения ортотропного мате-i риала в матрице с профилем в
виде логарифмических спиралеЩ 16. Решение на подгруппе <Х4 + рХ8> следует
искать в виде
ог = оф1пг + а(0), ов =<х{Нпг+ 6(0), (1.3Ц
Тгв = с(0), г2 = (аж)2 + уг, у = аж tg 0. j
Решение виДа (1.31) можно использовать для описания пластического течения
в сходящемся плоском канале с шероховатыми стенками, на которых задана
равномерно распределенная касательная компонента тге. На входе канала
задано давление. Это решение строится аналогично, решению Надаи, гл. 3, §
8, п. 3. 1в. Решение на подгруппе Xt + yXj следует искать в виде
о* = у* + Жр), т = Н(у), р" = уж + G(y). (1.32)
Подставляя (1.32) в уравнения (1.28), нетрудно получить
ао* = -Р + Л(уж - 2У1 - у2?2), . (1.33)
ау = -Р - уж, ат == Лур,
Это решение есть обобщение решения Прандтля на ортотропный случай,
подобное решение получено в работе, 184]. Его можно использовать' для
описания - пластического течения материала, сжимаемого жесткими
шероховатыми плитами.
2. Рассмотрим систему уравнений
• + = ^2 + ^ = 0
_ дх ду ' ду дх ¦ '
(0.-Ш>.)' +
(1.34)!
Группа непрерывных преобразований для системы (1.34) порож-, дается
операторами
+o"5|-+xi+pjr,.
X у
Инвариантные решения системы (1.34) можно искать только на подгруппах
X, + уХ3, У*4 + Хе + cXs, , Xi + уХа/
