Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IlI
силы трения покоя, т. е.
|ЛЇ0 — ?ф|</„ или |х —Х|<г.
Очевидно, в зависимости от параметров могут представиться три случая: а) если X -4— г =? 1, то на листе (/) имеется отрезок (у = О, X— т =? х^Х -j" г), состоящий из состояний равновесия, — отрезок покоя O^Ol (рис. 150); б) если Х+г^>1, но X — — 1, то состояниями равновесия будут точки отрезка (у = 0, X —rsSxsg 1), и, наконец, в) состояний равновесия не существует, если X — 1 (в последнем случае и точка Oi (X—г, 0), и точка Ol (X -j" г, 0) лежат вне листа (I)).
Интегрируя уравнения (3.49) для листа (/)(для него я = 1), нетрудно убедиться, что фазовыми траекториями будут дуги полуокружностей: У + [х — (X + г)]'2 = const
(3.50а)
в нижней половине листа, (с центром в точке 07(Х [-г, 0)) и
у* + [х — (X — r)f = const (3.506)
в верхней половине, (с центром в точке Oi (X — г, 0)). На
рис. 150 изображены фазовые траектории на листе (I) для случая Х + г<М. Фазовые траектории, начинающиеся в заштрихованной области, входят (через конечный промежуток времени) в отрезок покоя O^Ol- Все остальные фазовые траектории выходят на границу листа на полупрямой
Jf = +1, _У>0.
Для выяснения характера возможных движений колебательной системы часов, так же как и в предыдущей задаче, проведем на фазовой поверхности две полупрямые: (г») X = —1, у = —г» (^^>0) и (г»') je=+1, y = v'^> 0, и рассмотрим точечное преобразование их друг в друга, осуществляемое фазовыми траекториями. Пусть изображающая точка перешла с листа (II) на лист (I) в точке (—1, —г») полупрямой (г») (рис. 151). На листе (I) она, двигаясь по соответствующей полуокружности (3.50а), -придет на ось абсцисс в точке (—5, 0), где ?^>1 и определяется уравнением
и'2 = [; + Х + /+ •— [1 + X + rj = ;'2 + 2(Х + r)5 — 1 — 2(Х + /"). (3.51а)
У
§ 5] ТЕОРИЯ ЧАСОВ. БЕЗУДАРНАЯ МОДЕЛЬ
225
Если —Е<^Х— г, то изображающая точка пересечет ось абсцисс и будет двигаться в верхней половине листа (I) по полуокружности (3.50 б):
У+[х_(Х-г)]2 = [Е + Х-г]2
и или выйдет на полупрямую (г/) в точке (+1, г>і), определяемой уравнением
®; = [$ + Х — г]2— [1 —Х + г]2==3 +2 (X —г) Е — 1 +2 (X — г), (3.516)
или придет на отрезок покоя, в одно из равновесных состояний. Последнее имеет место при
Є 4-Х — г<1— х+г или Е<Е, = 1 — 2(Х — г). (3.52)
Соотношения (3.51 а) и (3.516) являются функцией последования для рассматриваемого точечного преобразования, записанной опять в параметрической форме; функция последования для точечного преобразования полупрямой (г/) в полупрямую (г>), осуществляемого фазовыми траекториями на листе (II), имеет тот же вид в силу указанной выше симметрии фазовых траекторий на листах (I) и (II). Эта функция последования определяет в последовательности точек пересечения любой выбранной фазовой траектории с полупрямыми (г>) и (vr) (в последовательности V, V1, Vi, v3,...) каждую последующую точку по предыдущей. Неподвижная точка преобразования v (для нее V = V1=V) Соответствует симметричному предельному циклу (рис. 151).
Для отыскания неподвижной точки, а также для определения ее устойчивости построим диаграмму Ламерея (рис. 152). Построив на ней кривые (3.51а) и (3.516) (первую из них следует строить только для Е^>1, вторую для E Ei=I — 2 (X—г)), нетрудно найти неподвижную точку как точку пересечения этих кривых (на рис. 152 по оси ординат отложены г>2 и V21 вместо v и B1; в этом случае кривые (3.51а) и (3.516) являются параболами). Очевидно, если Ei ^>1, что имеет место при Х<^г, то кривые (3.51а) и (3.516) не пересекаются; первая из них идет всюду над второй, последовательность чисел V, V1, Vi, ...будет монотонно убывающей и система при любых начальных условиях будет приходить в одно из состояний
8 Теория колебаний 1 226
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IlI
равновесия. Автоколебаний часов в этом случае не будет (диаграмма Ламерея для этого случая изображена на рис. 152, а).
Если же Ei <^1, что имеет место при
Х>г, (3.53)
то кривые (3.51а) и (3.516) имеют единственную точку пересечения> а рассматриваемое точечное преобразование — единственную неподвижную точку, которая, как нетрудно убедиться, является устойчивой (рис. 152, б). Таким образом, при выполнении неравенства (3.53) на
Рис. 152.
фазовой поверхности имеется единственный устойчивый предельный цикл, который и соответствует автоколебательному режиму часов (предельный цикл для случая X -j~r<C 1 и X г изображен нарис. 151).
у В зависимости от значений
параметров X и г (но Х^>г)мы будем иметь или жесткий или
Рис. 153.
Рис. 154.
мягкий режим установления автоколебаний. Если Х^>г, но Х<^1 -j-r, то наряду с устойчивым предельным циклом на фазовой поверхности § 5]
ТЕОРИЯ ЧАСОВ. БЕЗУДАРНАЯ МОДЕЛЬ
227
имеются еще отрезки устойчивых состояний равновесия (на каждом листе) и установление автоколебаний происходит не при всех начальных условиях (вне заштрихованной области на рис. 153). Если же X^>l-f-r, то состояний равновесия не существует и все фазовые траектории асимптотически (при t—»--f-oo) приближаются к предельному циклу, т. е. имеет место мягкий режим установления автоколебаний (они устанавливаются при любых начальных условиях). На рис. 154 изображена плоскость параметров часов X, г (точнее ее первый квадрант) с отмеченными на ней областями существования различных режимов часов.
