Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IlI
и уравнение движения принимает вид
/g = -/.*ng±Af. (3.39)
(верхний знак — при контакте зуба ходового колеса с палеттой Пи нижний — при контакте с палеттой /7а). Введем новые, безразмерные переменные:
t
«Po ' Н0В
_(_!)«} (У* (ЗЛ1)
тогда уравнение (3.39) приведется к следующему виду: х=у,
У = —F sgnj/ где
F=A M0 •
п — номер палетты, находящейся в контакте с зубом ходового колеса (точкой вверху обозначено дифференцирование по новому, безразмерному времени).
В случае M0^f0 (т. е. F^ 1) и неподвижного осциллятора (у = 0) момент спускового устройства не может преодолеть сил сухого трения,
поэтому _У = 0 ^T. е. ~| = 0j и любое состояние (х, 0) является
состоянием равновесия. В этом случае никаких периодических движений быть не может и любое движение заканчивается приходом системы в одно из состояний равновесия.
Поэтому ниже мы будем предполагать, что M0 /0 или, что то же самое, F<^ 1. В этом случае, как нетрудно видеть, система не имеет состояний равновесия.
Для фазовых траекторий на листе (/) (х<[-}- 1; с зубом ходового колеса контактирует правая палетта Ill и Ж = -|-Л10), разделив второе из уравнений (3.41) на первое, получаем следующее уравнение:
dy_1 — F sgn у _
dx у '
после интегрирования
— (1 -f-F) X = const (3.42а)
2
на нижней половине листа (у 0) и
Y — (1 —F)x = const (3.426)
на верхней (у 0). Таким образом, фазовые траектории на листе (I) состоят из дуг парабол (3.42а) и (3.426), причем в нижней половине § 5] ТЕОРИЯ ЧАСОВ. БЕЗУДАРНАЯ МОДЕЛЬ
219
Рис. 145.
листа изображающая точка двигается влево, ибо там х=_у<^0, а в верхней — вправо (рис. 145). Все фазовые траектории на листе (I) выходят на его границу на полупрямой jf = -J-I,
Фазовые траектории на листе (II) симметричны (относительно начала координат) с траекториями на листе (/), так как уравнения (3.41) для траекторий на листе (II) — полуплоскости jc — 1 — переходят в уравнения для траекторий на листе (I) при замене переменных X, у на — х, —у. Для выяснения характера возможных движений балансира проведем две полупрямые: (и) X = —1, у = —и<0 и (и')
x = -J- 1, _у = и'^> 0, и рассмотрим последовательность точек пересечения с ними любой фазовой траектории — последовательность v, V1, ..(рис. 146)1). Пусть изображающая точка перешла с листа Т (II) на лист (I) в точке (— 1,
У v —и). Там она будет дви-
гаться по параболе (3.42а), выйдет на ось абсцисс в точке (— 0), причем, очевидно, ? определяется уравнением
или
u* = 2(l-J-F) (5 — 1). (3.43а)
Затем изображающая точка двигается в верхней половине листа (I) и выходит, наконец, на границу этого листа на полупрямой (и') в точке (-J- 1, u1), где u1 0, и определяется соотношением
V*. V3
Рис. 146.
(I-F)S = ^-(I-F),
Очевидно, точки этих полупрямых соответствуют состояниям системы, при которых после прекращения контакта одной из палетт наступает контакт другой палетты с зубом ходового колеса; v и V1 являются абсолютными значениями скоростей балансира в этих состояниях, 1 220
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IlI
или
HJ = 2(1— /7HM- 0- (3-436)
Таким образом, фазовые траектории на листе (I) ставят точки полупрямых (н) и (г»') в некоторое однозначное и непрерывное соответствие или, другими словами, осуществляют некоторое точечное преобразование полупрямой (н) в полупрямую (г»'), выражаемое функцией последования (3.43а) и (3.436) (мы получили функцию последования, записанную в параметрическом виде; параметром является ; — наибольшее отклонение балансира ')). В дальнейшем изображающая точка перейдет на лист (II) и, двигаясь по соответствующей фазовой траектории (для которой есть симметричная на листе (I)), выйдет снова на полупрямую (н) в некоторой точке (—1, —н2). При этом в силу отмеченной выше симметрии фазовых траекторий на листах (I) и (II) V2 определяется по V1 той же функцией последования, выражаемой соотношениями (3.43а) и (3.436). Иначе говоря, точечное преобразование полупрямой (г»') в полупрямую (н) тождественно с точечным преобразованием полупрямой (н) в полупрямую (г1'); поэтому ниже мы будем говорить о едином точечном преобразовании полупрямых (н) и (т/) друг в друга.
Следовательно, при любом движении балансира в последовательности его скоростей V, V1, v3, v3, ... в моменты смены контактирующей палетты каждая последующая скорость определяется предыдущей найденной функцией последования. Это дает возможность проследить за ходом любой выбранной фазовой траектории. Неподвижная точка V точечного преобразования, т. е. точка, для которой V = Vi = V, очевидно, соответствует симметричному предельному циклу, являясь точками пересечения этого предельного цикла с полупрямыми (н) и (т/). Для неподвижной точки имеем:
(1 +F)&- 1) = (1 -F)(l-\-l), откуда амплитуда автоколебаний балансира
I = ~ (3.44)
I-Fa
(3.45)
') Конечно, в рассматриваемом случае параметр S нетрудно исключить, и тогда мы получили бы функцию последования, записанную в явном виде. Мы, однако, не будем исключать чтобы на этом простом примере показать, как можно вести исследование, пользуясь функцией последования в параметрическом виде. Следует заметить, что во многих задачах трудно получить функцию последования, записанную в явном виде, но сравнительно легко получить ее в параметрической форме (см. гл. VIII). § 5] ТЕОРИЯ ЧАСОВ. БЕЗУДАРНАЯ МОДЕЛЬ
