Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 135.
(3.36) 1 208
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IlI
где ft — константа, величина которой определяется устройством спускового механизма.
В этом случае величина «скачка» а на фазовой плоскости снова не будет постоянна, а будет зависеть от скорости движения нашей системы в момент, непосредственно предшествующий удару. Именно, как следует из выражения (3.36), a = У~у*-\-№—у, величина «скачка» убывает в зависимости от предударной скорости у по гиперболическому закону. Функция по-следования для скоростей балансира после удара, поскольку по-прежнему последующая скорость до удара н[ дается выражением (3.34), очевидно, запишется в виде
v> = (vt !/„>- Ir
(®i > 4/0) (3.37)
(по-прежнему изображающая точка после оборота возвращается на 4Г„ U v'i и'г V, «полупрямую ударов» х =—/0,
У^>0 только при H1 ^>4/0; при г'і - -I 4/0 изображающая точка попадает на отрезок покоя и колебание балансира прекращается). График функции последования (3.37) изображен на рис. 136. Это — гипербола, начинающаяся в точке Vl = Af0, Us = ft с асимптотой Ha = H1 — 4/„. Пересечение этой гиперболы с прямой H1 = v.2, если оно существует, даст нам неподвижную точку н, которая является скоростью после удара для периодического движения. Очевидно, такая точка существует при
Л>4/о, (3.38)
и если существует, то единственная. Для неподвижной точки имеем:
/
/
/
/
/
/
л /
/ I /
/ ! /
/ ; ?
/ і/
-V1
Рис. 136.
откуда
(для нее, очевидно, должно быть н^>4/0, что выполняется при /г^>4/о). Амплитуда периодических колебаний балансира часов, очевидно, равна
Условие (3.38), как легко видеть, предъявляет известные требования к силе пружины или весу гири заводного механизма. Дей- § 4] ТЕОРИЯ ЧАСОВ. МОДЕЛИ С УДАРАМИ
209
ствительно, так как путь, проходимый гирей при каждом ударе, задан конструкцией механизма, то работа, совершаемая гирей, должна быть во всяком случае больше, чем энергия, сообщаемая системе. Следовательно, чем больше /„, тем больше должен быть вес гири, чтобы условие (3.38) могло быть соблюдено. Если условие (3.38) выполнено, то в системе возможен единственный периодический процесс с определенной амплитудой, которому соответствует на фазовой плоскости замкнутая траектория, составленная из частей окружностей и отрезка оси у длиной а. Можно показать, хотя бы путем построения «лестницы Ламерея» (рис. 136) или пользуясь теоремой Кенигса (см. § 7 гл. V), что рассматриваемая неподвижная точка v устойчива и, следовательно, имеет место процесс приближения соседних движений к найденному периодическому.
Отсюда же следует, что предельное периодическое движение устойчиво в смысле Ляпунова. Полученная нами картина на фазовой
(постоянное кулоновское трение и постоянное приращение энергии при ударе) система обладает обоими наиболее характерными свойствами часового механизма: 1) наличие единственного периодического процесса (с определенной амплитудой) и 2) необходимость начального толчка (или отклонения) конечной величины для того, чтобы этот процесс 1 210
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IlI
установился. Второе из этих свойств, как легко видеть, обусловлено наличием постоянного трения в системе, и чем больше постоянное трение, тем больше область, в которой начальные отклонения затухают, и тем больше должен быть начальный толчок, чтобы часы пошли. Постоянное трение неизбежно присутствует в часах, так как маятник часов должен при движении привести в действие спусковой механизм, а для этого при любой конструкции механизма необходимо преодолеть трение покоя, имеющее конечную величину, для чего маятник должен обладать некоторой энергией. Таким образом, второе типичное свойство часов (необходимость начального толчка достаточной величины) тесно связано с самим принципом устройства часов. Особенности же устройства часов, обусловливающие это свойство, прежде всего могут быть охвачены предположением, что в часах присутствует постоянное трение. Самое предположение о постоянном трении, как и всякая идеализация, конечно, не охватывает всех свойств системы, а отражает наиболее характерную черту этой системы. Именно, предположение о постоянном трении может быть сделано тогда, когда в системе присутствуют силы трения, которые при сколь угодно малой скорости движения все же сохраняют конечную величину. Если же при достаточно малой скорости силы трения становятся сколь угодно малыми, то лучше отражает свойства системы предположение о «линейном трении». Конечно, в часах присутствует и то и другое трение; трение в спусковом механизме лучше может быть отражено при помощи первой идеализации, а сопротивление воздуха движению маятника — при помощи второй. Однако учет трения о воздух, т. е. введение линейного трения, не дало бы ничего нового, только вместо частей окружности на фазовой плоскости нужно было бы проводить части спирали. Постоянное же трение связано с существенно новым свойством — с отсутствием самовозбуждения колебаний и необходимостью начального толчка для установления периодического процесса, т. е. с наличием жесткого режима возбуждения автоколебаний.
